Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7. Основные задачи векторной алгебры 89
Пример 7.2. Решить векторное уравнение
2~x + ~a × ~x =
~
b, (7.19)
если ~a = (1, −1, 1),
~
b = (2, 1, −1).
Решение уравнения (7.19) задается формулой (7.18), т.е.
~x =
2(
~
b ×~a) + 4
~
b + |~a|
2
(
~
b ·~a)
2(4 + |~a|
2
)
.
Поскольку
~
b ×~a =
~ı ~
~
k
2 1 −1
1 −1 1
= −3~ −3
~
k,
~
b ·~a = 0, |~a|
2
= 3,
то
~x =
1
2(4 + 3)
[2(−3~ − 3
~
k) + 4(2~ı + ~ −
~
k)] =
1
7
(4~ı −~ − 5
~
k).
7.6. Разложение заданного вектора
по тр¨ем некомпланарным векторам
Даны три некомпланарных вектора ~a,
~
b,~c и вектор ~r. Требуется найти ко-
ординаты вектора ~r в базисе ~a,
~
b,~c. Эта задача сводится к определению тр¨ех
скаляров x
1
, x
2
, x
3
из уравнения
~r = x
1
~a + x
2
~
b + x
3
~c. (7.20)
Умножив скалярно исходное уравнение (7.20) последовательно на векторы (
~
b ×
~c), (~c ×~a), (~a ×
~
b), получим
(~r,
~
b,~c) = x
1
(~a,
~
b,~c),
(~r,~c,~a) = x
2
(
~
b,~c,~a),
(~r,~a,
~
b) = x
3
(~c,~a,
~
b).
Отсюда найд¨ем
x
1
=
(~r,
~
b,~c)
(~a,
~
b,~c)
;
x
2
=
(~a, ~r,~c)
(~a,
~
b,~c)
; (7.21)
x
3
=
(~a,
~
b,~r)
(~a,
~
b,~c)
.
Формулу (7.21) можно рассматривать как векторную запись правила Крамера.

Страницы