Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7. Основные задачи векторной алгебры 87
Таким образом, общее решение (7.8) уравнения (7.7) находится с точностью
до произвольного скаляра, в отличие от решения уравнения (7 .1), которое на-
ходится с точностью до произвольного вектора. Это отличие становится по-
нятным, если исходное уравнение (7.7) рассматривать как систему линейных
уравнений для определения координат x
1
, x
2
, x
3
искомого вектора ~x через из-
вестные координаты a
1
, a
2
, a
3
и b
1
, b
2
, b
3
векторов ~a и
~
b:
−a
3
x
2
+ a
2
x
3
= b
1
,
a
3
x
1
−a
1
x
3
= b
2
,
−a
2
x
1
+ a
1
x
2
= b
3
.
7.3. Определение вектора по известным векторному и скалярному
произведениям с заданными векторами
Требуется о пределить неизвестный вектор ~x из системы двух уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c ·~x = β,
(7.9)
где скаляр β и векторы ~a,
~
b,~c считаются заданными, прич¨ем предполагается, что
вектор ~a перпендикулярен вектору
~
b и не перпендикулярен вектору ~c: ~a ·
~
b = 0,
~a ·~c 6= 0.
Решение этой системы можно получить с помощью решений (7.6) или (7.8).
Однако имеется более простой способ. Первое уравнение в (7.9) умножим век-
торно на вектор ~c:
(~a ×~x) ×~c =
~
b ×~c
или
~x(~a ·~c) −~a(~x ·~c) =
~
b ×~c.
Отсюда, воспользовавшись вторым уравнением системы, найд¨ем вектор
~x =
β|~a|
~a ·~c
+
~
b ×~c
~a ·~c
. (7.10)
Из (7.10) следует, что вектор, заданный своими векторным и скалярным
произведениями, определяется однозначно.
Пример 7.1. Решить систему векторных уравнений
~a ×~x =
~
b,
~c ·~x = −3,
(7.11)
если в декартовой системе координат ~a = (1, −1, 1),
~
b = (2, 1, −1), ~c = (0, 3, 2).
Решение. Условиями разрешимости системы (7.11) являются требования ~a·
~
b =
0, ~a ·~c 6= 0. Вычислив
~a ·
~
b = 2 − 1 −1 = 0, ~a ·~c = 0 − 3 + 2 = −1,
выясняем, что система разрешима. Приняв во внимание, что
~
b ×~c =
~ı ~
~
k
2 1 −1
0 3 2
= 5~ı − 4~ + 6
~
k,
согласно (7.10), найд¨ем
~x = −3
~a
~a ·~c
+
~
b ×~c
~a ·~c
= 3(~ı −~ +
~
k) − (5~ı − 4~ + 6
~
k) = −2~ı + ~ − 3
~
k.

Страницы