ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
86 Глава 1. Векторная алгебра
Обозначив
~
b/|~a|
2
=
~
β, получим решение уравнения (7.1) в виде
~x =
α
|~a|
2
~a +
~
β ×~a. (7.6)
Нетрудно убедиться, что при любом выборе вектора
~
β вектор ~x удовлетворяет
уравнению (7.1). Действительно, подставив (7.6) в ( 7.1):
α
|~a|
2
~a +
~
β ×~a
·~a =
α
|~a|
2
(~a,~a) + (
~
β ×~a) ·~a = α + 0 = α,
получим тождество.
Таким образом, общее решение (7.6) уравнения (7.1) находится с точностью
до произвольного вектора. Этот результат ста новится очевидным, если исходное
уравнение рассматривать как одно линейное уравнение для трех неизвестных
координат x
1
, x
2
, x
3
вектора ~x:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
= α.
7.2. Определение вектора по известному векторному произведению
с заданным вектором
Рассмотрим уравнение
~a ×~x =
~
b, (7.7)
где ~x — искомый вектор, а векторы ~a и
~
b — заданные перпендикулярные век-
торы.
Решение уравнения (7.7) эквивалентно нахождению вектора ~x по его вектор-
ному произведению с заданным вектором ~a. Мы уже знаем, что решение этой
задачи неоднозначно. Установим характер этой неоднозначности.
Уравнение (7.7) умножим векторно на вектор ~a:
(~a × ~x) ×~a =
~
b ×~a.
Воспользовавшись разложением (7.3 ) двойного векторного произведения, полу-
чим
~x|~a|
2
−~a(~x ·~a) =
~
b ×~a
или
~x =
(~x ·~a)
|~a|
2
~a +
~x ×~a
|~a|
2
.
Обозначив (~x ·~a)~a/|~a|
2
= α, получим решение уравнения (7.7) в виде
~x = α~a +
~
b ×~a
|~a|
2
. (7.8)
Нетрудно убедиться, что при любом выборе скаляра α полученный вектор ~x
удовлетворяет уравнению (7.7). Действительно, подставив (7.8) в (7.7), с уч¨етом
соотношений ~a ×~a = 0,
~
b ·~a = 0 получим тождество
~a(α~a +
~
b ×~a) = α~a ×~a + ~a × (
~
b ×~a) = 0 +
~
b
~a
2
|~a|
2
−~a(
~
b ·~a) =
~
b.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
