Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 1. Векторная алгебра
Решение. На сторонах треугольника построим векторы
−→
CA = ~a = ~p −~q,
−−→
CB =
~
b = 2~p + ~q. Тогда
−→
AB =
~
b −~a = ~p + 2~q. Вычислив
|~a|
2
= (~a,~a) = (~p − ~q, ~p − ~q) = |~p|
2
− 2(~p, ~q) + |~q|
2
=
= 1 − 2 · 1 ·2
√
2
2
+ 4 = 5 − 2
√
2;
|
~
b|
2
= (
~
b,
~
b) = (2~p + ~q, 2~p + ~q) = 4|~p|
2
+ 4(~p, ~q) + |~q|
2
=
= 4 + 4 · 1 · 2
√
2
2
+ 4 = 8 + 4
√
2;
(~a,
~
b) = (~p − ~q, 2~p + ~q) = 2|~p|
2
− 2(~q, ~p) + (~p, ~q) − |~q|
2
=
= 2|~p|
2
− (~p, ~q) − |~q|
2
= 2 −
√
2 − 4 = −2 −
√
2,
(6.16)
найд¨ем определитель Грама
Γ(~a,
~
b) =
(~a,~a) (~a,
~
b)
(
~
b,~a) (
~
b,
~
b)
=
5 − 2
√
2 −2 −
√
2
−2 −
√
2 8 + 4
√
2
=
=(5 − 2
√
2)4(2 + 2
√
2) − (2 + 2
√
2)
2
=4(6 +
√
2) − (6 + 4
√
2)=18. (6.17)
Соотношения (6.16) и (6.17) позволяют воспользоваться рис. 48 и формулами
(6.1)–(6.15):
а) |CA| = |
−→
CA| = |~a| =
p
(~a,~a) =
p
5 − 2
√
2,
|AB| = |
−→
AB| = |
~
b −~a| =
q
(
~
b,
~
b) − 2(~a,
~
b) + (~a,~a) =
=
q
8 + 4
√
2 − 2(−2 −
√
2) + 5 − 2
√
2 =
q
17 + 4
√
2,
cos ψ =
(~a,~a) −(~a,
~
b)
|~a||
~
b −~a|
=
5 − 2
√
2 + 2 +
√
2
q
(5 − 2
√
2)(17 + 4
√
2)
≈ 0,798, ψ ≈ 37
◦
;
б) согласно (6.15),
S
ABC
=
1
2
q
Γ(~a,
~
b) =
1
2
√
18 =
3
2
√
2;
в) согласно (6.3),
~
h =
~a(~a,
~
b)
(~a,~a)
−
~
b =
~a(−2 −
√
2)
5 − 2
√
2
−
~
b = −
14 + 9
√
2
17
~a −
~
b =
−48 − 9
√
2
17
~p +
−3 + 9
√
2
17
~q,
а, согласно (6.4),
|
~
h| =
s
Γ(~a,~a)
Γ(~a)
=
s
18
5 − 2
√
2
=
s
18(5 + 2
√
2)
17
;
г) вектор-медиана ~m, согласно (6.5), равна
~m =
1
2
(~a +
~
b) =
1
2
(~p − ~q + 2~p + ~q) =
3
2
~p,

Страницы