Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6. Определение характеристик треугольника методами векторной алгебры 83
Получим
α
|~a|
− 1 + β
~a +
α
|
~
b|
− β
~
b = 0.
Отсюда в силу линейной независимости векторов ~a и
~
b найд¨ем
1 −β =
α
|~a|
,
α
|
~
b|
= β. (6.9)
Решение этой системы уравнений имеет вид
α =
|~a||
~
b|
|~a| + |
~
b|
, β =
|~a|
|~a| + |
~
b|
. (6.10)
Подста вив α из (6.10) в (6.7), найд¨ем вектор-биссектрису
~n =
|~a||
~
b|
|~a|+ |
~
b|
~a
|~a|
+
~
b
|
~
b|
=
b~a + a
~
b
a + b
(6.11)
и е¨е длину
|~n| =
p
(~n, ~n) =
p
2ab[ab − ab cos ϕ)]
a + b
. (6.12)
Заметим, что параметр β позволяет записать составляющие вектора
~
b −~a
как
−−→
AN =
|~a|
|~a| + |
~
b|
(
~
b −~a),
−−→
NB = (
~
b −~a) −
|~a|
|~a| + |
~
b|
(
~
b −~a) =
|
~
b|
|~a| + |
~
b|
(
~
b −~a). (6.13)
Отсюда
|
−−→
AN|
|
−−→
NB|
=
|~a|
|
~
b|
. (6.14)
Это соотношение соответствует известному в элементарной геометрии утвер-
ждению, что биссектриса делит сторону на отрезки, отношение длин ко торых
совпадает с отношением длин сторон, к которым они прилегают.
6. Площадь треугольника S
ABC
Из свойств векторного произведения [~a,
~
b] имеем
S
ABC
=
1
2
|[~a,
~
b]| =
1
2
q
([~a,
~
b], [~a,
~
b]) =
1
2
q
a
2
b
2
− (~a,
~
b)
2
=
1
2
q
Γ(~a,
~
b). (6.15)
Пример 6.1. Для треугольника ABC, построенного на векторах
−→
CA = ~p − ~q,
−−→
CB = 2~p + ~q, где |~p| = 1, |~q| = 2, ∠(~a,
~
b) = π/4, методами векторной алгебры
найти:
а) длины сторон CA и AB и угол между ними;
б) площадь треугольника ABC;
в) вектор-высоту
~
h, провед¨енную из точки B, и ее длину;
г) вектор-медиану ~m, провед¨енную из угла C, и ее длину;
д) вектор-биссектрису ~n угла C и ее длину.

Страницы