ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6. Определение характеристик треугольника методами векторной алгебры 81
6. Определение основных характеристик треугольника
методами векторной алге бры
Одной из основных задач элементарной геометрии является описание тре-
угольника. В элементарной геометрии треугольник считается заданным, если
известны три его стороны или две стороны и угол между ними. Последнее в
векторной алгебре означает задание двух векторов. Пусть векторы ~a и
~
b, выхо-
дящие из т очки C, определяют треугольник ABC (рис. 48).
Покажем, что все характеристики этого
Рис. 48.
треугольника легко найти методами вектор-
ной алгебры.
1. Длина стороны AB
Вектор
−→
AB есть разность
−→
AB =
~
b −~a,
тогда
|
−→
AB|
2
= (
~
b −~a,
~
b −~a) =
~
b
2
− 2~a ·
~
b + ~a
2
,
откуда
|
−→
AB| =
q
~a
2
+
~
b
2
− 2~a ·
~
b. (6.1)
С уч¨етом определения скалярного произведения: ~a
2
= |~a|
2
= a
2
,
~
b
2
= |
~
b|
2
= b
2
,
~a ·
~
b = |~a||
~
b|cos ϕ = ab cos ϕ, и соотношение (6.1) можно записать в в иде
|AB| =
p
a
2
+ b
2
−2ab cos ϕ.
Это соотношение известно в элементарной геометрии как теор ема косинусов.
2. Второй угол, прилежащий к стороне CA (угол ψ = ∠CAB)
Из рис. 48 следует
(−~a) · (
~
b −~a) = |~a||
~
b −~a|cos ψ,
откуда
cos ψ =
−~a · (
~
b −~a)
|~a||
~
b −~a|
=
a
2
−~a ·
~
b
|~a|
p
a
2
+ b
2
− 2~a ·
~
b
=
a
2
−ab cos ϕ
a
p
a
2
+ b
2
− 2ab cos ϕ
. (6.2)
3. Вектор-высота
~
h, опущенная и з верши ны B, и е¨е длина
Из рис. 48 следует
~
b +
~
h =
−−→
CH,
откуда
~
h =
−−→
CH −
~
b,
а с уч¨етом
−−→
CH =
~a
|~a|
· пр
~a
~
b =
~a
|~a|
~a ·
~
b
|~a|
=
~a(~a ·
~
b)
|~a|
2
=
~a
a
b cos ϕ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
