Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава 1. Векторная алгебра
что и требовалось доказать.
♦ При доказательстве формулы (5.12) мы неявным образом опирались на
два допущения:
а) векторы
~
b и ~c предполагались неколлинеарными, т.е. [
~
b,~c] 6= 0;
б) векторы
~
b и
~
b предполагались не перпендикулярными вектору ~a одновре-
менно, т.е. (
~
b,~a)
2
+ (~c,~a)
2
6= 0.
Однако если хотя бы одно из этих допущений не выполняется, то обе ча сти
формулы (5.12) обраща ют ся в нуль и она сохраняет свою силу независимо от
этих допущений.
Следствие 5.3.1. Вектор двойного векторного произведения [~a, [
~
b,~c]] лежит в
плоскости векторов
~
b и ~c. Прич¨ем если ~a ⊥
~
b, то вектор [~a, [
~
b,~c]] коллинеарен
вектору
~
b, а если ~a ⊥~c, то вектор [~a, [
~
b,~c]] коллинеарен вектору ~c.
Следствие 5.3.2. Для любых трех векторов ~a,
~
b, ~c справедливо равенство
[~a, [
~
b,~c]] + [
~
b, [~c,~a]] + [~c, [~a,
~
b]] = 0. (5.13)
Соотношение (5.13) называется тождеством Якоби.
Доказательство. Действительно, из (5.12) следует
[~a, [
~
b,~c]] +[
~
b, [~c,~a]]+[~c, [~a,
~
b]] =
~
b(~a,~c)−~c(~a,
~
b)+~c(
~
b,~a) −~a(
~
b,~c) +~a(~c,
~
b)−
~
b(~c,~a) = 0.
Свойство ассоциативности (независимости порядка выполнения операций
умножения), характерное для смешанного произведения тр¨ех векторов, для
двойного векторного произведения в общем случае несправедливо. Действи-
тельно, рассмотрим двойное векторное произведение со следующим порядком:
[[~a,
~
b],~c]. Согласно свойству антикоммутативности, его можно записать в виде,
соответствующем порядку в формуле (5.12):
[[~a,
~
b],~c] = −[~c, [~a,
~
b]] (5.14)
Применив эту формулу к (5.14 ), т.е. заменив формально в (5.12) ~a ⇒ ~c,
~
b ⇒ ~a,
~c ⇒
~
b, получим
[[~a,
~
b],~c] = −[~c, [~a,
~
b]] = −{~a(~c,
~
b) −
~
b(~c,~a)} =
~
b(~a,~c) −~a(~c,
~
b)
или
[[~a,
~
b],~c] =
~
b(~a,~c) −~a(~c,
~
b). (5.15)
Сравнив (5.12) и (5.15), находим, что в общем случае
[[~a,
~
b],~c] 6= [[~a,
~
b],~c].
Обе формулы: (5.12) и (5.14), объединяются следующим правилом разложе-
ния векторного произведения.
♦ Векторно-векторное (двойное векторное) произведение трех векторов ~a,
~
b,
~c равно среднему вектору, умноженному на скалярное произведение крайних,
минус то т вектор, который векторно перемножается со средним, умноженный
на скалярное произведение двух остальных.
♦ Множество трехмерных векторов относительно операций сложения век-
торов, умножения на число и векторного произведения образуют а лгебру Ли
([~a,~a] = 0 и для двойного векторного произведения справедливо тождество
Якоби).

Страницы