ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
78 Глава 1. Векторная алгебра
Пример 5.1. Даны координаты вершины пирамиды O(0; 0; 0), A(2; 3; 0), B(3; 0; 4)
и C(0; 4; 5). Найти 1) объ¨ем пирамиды; 2 ) плоский угол AOB; 3) площадь грани
OAC; 4) длину вектора
−→
AB.
Решение. 1. Построим пирамиду (рис. 47). Ее объ¨ем втрое меньше объ¨ема
треугольной призмы с основанием OAB и боковым ребром OC, а объ¨ем этой
призмы вдвое меньше объ¨ема параллелепипеда, построенного на в екторах
−→
OA,
−−→
OB и
−→
OC. Следовательно, в силу (5.3) найд¨ем
V
пир
=
1
6
V
пар
=
1
6
|[
−→
OA,
−−→
OB] ·
−→
OC|.
Запишем координаты векторов:
−→
OA = (2, 3, 0),
−−→
OB =
Рис. 47.
(3, 0, 4) и
−→
OC = (0, 4, 5). Следовательно,
V
пир
=
1
6
2 3 0
3 0 4
0 4 5
=
1
6
| − 77| = 12
5
6
куб. ед.
Знак минус указывает на то, что векторы
−→
OA,
−−→
OB и
−→
OC обра зуют левую тройку.
2. Угол ∠AOB — это угол между векторами
−→
OA и
−−→
OB:
cos ϕ =
(
−→
OA ·
−−→
OB)
OA ·OB
=
2 · 3 + 3 · 0 + 0 · 4
√
2
2
+ 3
2
+ 0
2
√
3
2
+ 0
2
+ 4
2
=
6
5
√
13
.
5.3. Смешанное произведение векторов и определитель Грама
Координатная форма (5.6) смешанного произведения позволяет записать
следующую цепочку равенств:
(~a,
~
b,~c)
2
=
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
2
=
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
=
= det
"
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
!
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
!#
= det
~a ·~a ~a ·
~
b ~a ·~c
~
b ·~a
~
b ·
~
b
~
b ·~c
~c ·~a ~c ·
~
b ~c ·~c
= Γ(~a,
~
b,~c) > 0.
(5.8)
Отсюда объ¨ем параллелепипеда, построенного на векторах ~a,
~
b, ~c, можно запи-
сать в виде
V
пар
= |(~a,
~
b,~c)| =
q
Γ(~a,
~
b,~c). (5.9)
Соответственно, высота параллелепипеда, опущенная на плоскость векторов ~a
и
~
b,
h =
V
пар
S
пар
=
q
Γ(~a,
~
b,~c)
q
Γ(~a,
~
b)
=
s
Γ(~a,
~
b,~c)
Γ(~a,
~
b)
. (5.10)
С помощью о пределителя Грама можно сформулировать еще один крите-
рий линейной независимости трех в екторов: три вектора ~a,
~
b, ~c будут линейно
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
