ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
76 Глава 1. Векторная алгебра
а пр
~
d
~c = H — высота параллелепипеда. Тогда (5 .2) примет вид
([~a,
~
b],~c) = dH = SH = V
— объ¨ем параллелепипеда. Если векторы ~a,
~
b, ~c образуют левую тройку век-
торов, то ([~a,
~
b],~c) = −V . В общем случае ([~a,
~
b],~c) = ±V , что и требовалось
доказать.
Следствие 5.1.1. Объ¨ем V
1
треугольной пирамиды, образованной векторами
~a,
~
b, ~c, равен
V
1
=
1
6
V =
1
6
[~a,
~
b] ·~c
. (5.3)
Отметим основные свойства смешанного произведения векторов.
Свойство 1 (ассоциативности). Смешанное произведение не изменяется, ес-
ли в н¨ем поменять местами знаки векторного (×) и скалярного (·) умножения,
т.е.
(~a ×
~
b) ·~c = ~a · (
~
b ×~c). (5.4)
Действительно, оба эти произведения имеют одинаковые абсолютные величины,
равные объ¨ему параллелепипеда, построенному на перемножаемых векторах ~a,
~
b, ~c. Поскольку в правой части (5.4) сомножители в скалярном произведении
можно поменять местами, то мы будем иметь
([~a,
~
b],~c) = (~a, [
~
b,~c]) = ([
~
b,~c],~a).
Отсюда следует, что если тройка векторов ~a,
~
b,~c — правая, то и тройка
~
b,~c,~a, по-
лученная циклической перестановкой, тоже правая (см. пример 3.3). Это озна-
чает, что произведения в (5.4) совпадают как по а бсолютной величине, так и то
знаку, т.е. соотношение (5.4) является равенством.
♦ В силу ассоциативности смешанного произведения для него используется
обозначение
([~a,
~
b],~c) = (~a,
~
b,~c)
без указания порядка векторного и скалярного произведений.
Свойство 2. Смешанное произведение не изменяется, если переста вить пере-
множа емые векторы в круговом (циклическом) порядке:
(~a,
~
b,~c) = (
~
b,~c,~a) = (~c,~a,
~
b).
Действительно, в этом случае не изменяется ни объ¨ем параллелепипеда, ни
ориентация векторов, на которых он построен.
Свойство 3. При перестано вке любых двух соседних векторов смешанное про-
изведение изменяет только знак:
(~a,
~
b,~c) = −(
~
b,~a,~c) = (
~
b,~c,~a) = −(~c,
~
b,~a) = (~c,~a,
~
b) = −(~a,~c,
~
b),
поскольку объ¨ем параллелепипеда не изменяется, а тройка векторов меняет
ориентацию.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
