ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
74 Глава 1. Векторная алгебра
Наряду с этим с помощью определителя Грама можно сформулировать еще
один критерий линейной независимости двух векторов.
Два вектора: ~a и
~
b будут линейно независимы только при условии Γ(~a,
~
b) 6= 0.
В противном случае они линейно зависимы (т.е. коллинеарны).
Ниже мы покажем, что этот критерий допуска ет о бобщение на случай про-
извольного числа в екторов.
Пример 4.10. С помощью определителя Грама вычислить площадь треуголь-
ника , заданного в примере 4.8, и его высоту, опущенную на сторону AB.
Решение. Координаты векторов
−→
AB и
−→
AC уже найдены в примере 4.8:
−→
AB =
(1, 1, 0),
−→
AC = (−1, −4, −3), а площадь треугольника S
ABC
равна половине пло-
щади S
пар
параллелограмма, построенного на векторах
−→
AB и
−→
AC, поэтому по
формуле (4.68 ):
S
ABC
=
1
2
S
пар
=
1
2
q
Γ(
−→
AB,
−→
AC) =
1
2
−→
AB
2
(
−→
AB,
−→
AC)
(
−→
AC,
−→
AB)
−→
AC
2
1/2
=
=
1
2
2 −5
−5 26
1/2
=
1
2
√
27 =
3
2
√
3
получим значение S
ABC
, совпадающее с полученным в примере 4.8.
Высоту h, опущенную на сторону AB, найд¨ем аналогично высоте паралле-
лограмма по формуле (4.69):
h =
S
ABC
|
−→
AB|
=
3
√
3/2
√
2
=
3
2
r
3
2
.
Пример 4.11. За дачу из примера 4.9 решить с по мощью определителя Грама.
Решение. Плечо силы
~
F = (2, 0, 1), приложенной к точке B, найдено в приме-
ре 4.9:
−→
AB = (−2, 3, 3), поэтому
m
A
(
~
F ) = |[
−→
AB,
~
F ]| =
q
Γ(
−→
AB,
~
F ) =
−→
AB
2
(
−→
AB,
~
F )
(
~
F ,
−→
AB)
~
F
2
1/2
=
22 −1
−1 5
1/2
=
√
109
можно найти без помощи вектора
~
M = [
−→
AB,
~
F ].
♦ В заключение, как и для скалярного произ-
Рис. 45.
ведения, обсудим возможность введения опера-
ции, обратной векторному произведению векто-
ров, т.е. операции «деления вектора на вектор».
Начала двух векторов ~a и
~
b поместим в одну точ-
ку O, а через точку B, соответствующую концу
вектора
~
b, провед¨ем прямую ℓ параллельно век-
тору ~a (рис. 45).
Теперь из точки O провед¨ем вектор
~
b
1
, заканчивающийся в произвольной
точке B
1
, лежащей на прямой ℓ. Из рис. 45 видно, что векторные произведения
[~a,
~
b] и [~a,
~
b
1
] совпадут:
[~a,
~
b] = [~a,
~
b
1
] = ~c.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
