ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
72 Глава 1. Векторная алгебра
Пример 4.8. Найти площа дь треугольника с вершинами в то чках A(1, 1, 1, ) ,
B(2, 2, 1) и C(0, −3, −2).
Решение. Треугольник построен на векторах
−→
AB = (2 − 1)~ı + (2 − 1)~ + (1 − 1)
~
k = ~ı + ~
и
−→
AC = (0 − 1)~ı + (−3 − 1)~ + (−2 − 1)
~
k = −~ı − 4~ − 3
~
k.
Найд¨ем
[
−→
AB,
−→
AC] =
~ı ~
~
k
1 1 0
−1 −4 −3
= −3~ı + 3~ − 3
~
k
и
|[
−→
AB,
−→
AC]| =
p
(−3)
2
+ 3
2
+ (−3)
2
= 3
√
3.
Итак, площадь параллелограмма, построенного на векторах
−→
AB и
−→
AC равна
S = 3
√
3, а площадь треугольника
S
△ABC
=
1
2
S =
3
√
3
2
кв. ед.
Выясним механический смысл векторного произведения.
Момент с илы. П усть тв¨ердое тело неподвижно закреплено
Рис. 44.
в точке A (рис. 44), а в т очке B к нему приложена приложена
сила F .
Возникает вращающийся момент этой силы относительно точ-
ки A, численно равный AB ·F sin ϕ, т.е. площади параллелограм-
ма, построенного на векторах
−→
AB и
~
F . В теоретической механике
этот момент определяется вектором
~m
A
(
~
F ) =
~
M = [
−→
AB,
~
F ] или
~
M =
−→
AB ×
~
F .
В частности, момент отно сительно начала координат m(
~
F ) = [~r,
~
F ], где ~r —
радиус-вектор точки приложения силы.
Пример 4.9. Точка A(2, −1, 1) т в¨ердого тела закреплена, в точке B(0, 2, 4) те-
ла приложена сила
~
F = (2, 0, 1). Найти момент силы m
A
(
~
F ) = M относительно
точки A.
Решение. Вектор
−→
AB имеет координаты
−→
AB = (0 − 2, 2 − (−1), 4 − 1) или
−→
AB = (−2, 3, 3). Вращающий момент
m
A
(
~
F ) =
~
M = [
−→
AB,
~
F ] =
~ı ~
~
k
−2 3 3
2 0 1
= 3~ı + 8~ − 6
~
k.
Значение момента
|m
A
(
~
F )| = |M| =
p
3
2
+ 8
2
+ (−6)
2
=
√
109.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
