ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 71
4.6. Векторное произведение векторов,
заданных декартовыми координатами
Теорема 4.3. Если векторы заданы своими декартовыми к оординатами: ~a =
(x
1
, y
1
, z
1
),
~
b = (x
2
, y
2
, z
2
), то их векторное произведение определяется форму-
лой
[~a,
~
b] =
~ı ~
~
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
. (4.59)
Доказательство. Составим векторное произведение заданных векторов:
[~a,
~
b] = (x
1
~ı + y
1
~ + z
1
~
k) × (x
2
~ı + y
2
~ + z
2
~
k) =
= x
1
x
2
[~ı,~ı] + x
1
y
2
[~ı, ~] + x
1
z
2
[~ı,
~
k] +
+y
1
x
2
[~,~ı] + y
1
y
2
[~,~] + y
1
z
2
[~,
~
k] +
+z
1
x
2
[
~
k,~ı] + z
1
y
2
[
~
k, ~] + z
1
z
2
[
~
k,
~
k]. (4.60)
Подставив в (4.61) соотношения (4.58), получим
[~a,
~
b] = 0 + x
1
y
2
~
k − x
1
x
2
~ + (−y
1
x
2
)
~
k + 0 + y
1
z
2
~ı + z
1
x
2
~ − z
1
y
2
~ı + 0
или
[~a,
~
b] = (y
1
z
2
− z
1
y
2
)~ı − (x
1
z
2
− z
1
x
2
)~ + (x
1
y
2
− y
1
x
2
)
~
k, (4.61)
где права я часть есть определитель 3-го порядка, расписанный по элементам ~ı,
~,
~
k.
Итак, мы пока зали, что формула (4.59) справедлива.
Модуль вектора (4.61) есть
|[~a
~
b]| =
p
(y
1
z
2
−z
1
y
2
)
2
+ (x
1
z
2
− z
1
x
2
)
2
+ (x
1
y
2
− y
1
x
2
)
2
или
|[~a
~
b]| =
s
y
1
z
1
y
2
z
2
2
+
z
1
x
1
z
2
x
2
2
+
x
1
y
1
x
2
y
2
2
. (4.62)
Следствие 4.3.1. Если ~ak
~
b, то
[~a
~
b] = (y
1
z
2
−z
1
y
2
)~ı − (x
1
z
2
− z
1
x
2
)~ + (x
1
y
2
− y
1
x
2
)
~
k = 0,
а значит, и его проекции равны нулю:
y
1
z
2
− z
1
y
2
⇒
y
1
y
2
=
z
1
z
2
;
x
1
z
2
− z
1
x
2
⇒
x
1
x
2
=
z
1
z
2
;
x
1
y
2
−y
1
x
2
⇒
x
1
x
2
=
y
1
y
2
,
откуда
x
1
x
2
=
y
1
y
2
=
z
1
z
2
. (4.63)
Это условие параллельности векторов ~a = (x
1
, y
1
, z
1
) и
~
b = (x
2
, y
2
, z
2
), задан-
ных своими координатами. На пример, векторы ~a = (4, −6, 8) и
~
b = (2, −3, 4)
параллельны, так как выполняется условие (4.63) параллельности векторов:
4
2
=
−6
−3
=
8
4
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
