ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 69
б) полученный в проекции треугольник OP
1
P
2
поверн¨ем в плоскости π во-
круг точки O на прямой угол так, чтобы с той стороны, куда направлен вектор
~
b, этот поворот был виден происходящим по часовой стрелке;
в) все векторы, являющиеся сторонами пов¨ернутого треугольника OP
′
1
P
′
2
,
умножим на |
~
b|. Получим треугольник OP
′′
1
P
′′
2
, подобный треугольнику OP
′
1
P
′
2
.
Но это означает, с одной стороны, что
−→
OP
′′
2
= (~a
1
+ ~a
2
) ×
~
b,
−→
OP
′′
1
= ~a
1
×
~
b,
−−→
P
′′
1
P
′′
2
= ~a
2
×
~
b,
а с другой, что
−→
OP
′′
2
=
−→
OP
′′
1
+
−−→
P
′′
1
P
′′
2
,
следовательно,
(~a
1
+ ~a
2
) ×
~
b = ~a
1
×
~
b + ~a
2
×
~
b,
что и доказывает справедливость (4.55 ).
Свойство 1. Векторное произведение равно нулю (нуль-вектору) тогда и т оль-
ко тогда, когда векторы ~a и
~
b коллинеарны. В частности, [~a,~a] = 0 для любого
вектора ~a, а также [~a,
~
0] — в полном соо тветствии с ранее введ¨енной договорен-
ностью, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.
Действительно, если ~a ⇈
~
b, то угол между ними равен 0
◦
, либо 180
◦
, если ~a ↑↓
~
b. Но sin 0
◦
= 0 и sin 180
◦
= 0, а значит, и |[~a,
~
b]| = ab sin 0
◦
= 0. Следовательно,
и сам вектор ~c = [~a,
~
b] = 0. В частности, [~a,~a] = 0, так как |~a,~a]| = aa sin 0 = 0 .
Свойство 2. Если [~a,
~
b] = 0, то ~ak
~
b.
Рис. 42.
Действительно, если [~a,
~
b] = 0, то и его длина |[~a,
~
b]| =
ab sin(
c
~a,
~
b) = 0. Отсюда, если a 6= 0 и b 6= 0, то sin(
c
~a,
~
b) = 0,
и, следовательно, ~ak
~
b.
Свойство 3. Если векторы ~a и
~
b приведены к общему на-
чалу и они неколлинеарны, то модуль векторного произ-
ведения равен площади параллелограмма, построенного
на векторах ~a и
~
b (рис. 42).
Действительно, это утверждение следует из того, что площадь параллело-
грамма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.
Свойство 4. Свойство антиперестановочности сомножителей:
[~a,
~
b] = −[
~
b,~a]. (4.56)
Действительно, равенство (4.56) справедливо, если векторы ~a и
~
b коллине-
арны, так как в этом случае |[~a,
~
b]| = ab sin 0 = 0, значит, и вектор [~a,
~
b] = 0 и
|[
~
b,~a]| = ba sin 0 = 0, т.е. вектор [
~
b,~a] = 0.
Если векторы ~a и
~
b неколлинеарны, то имеет место только (4.56). Действи-
тельно, согласно третьему условию, входящему в определение в екторного про-
изведения, векторные произведения [~a,
~
b] и [
~
b,~a] имеют взаимно прот ивополож-
ные направления.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
