ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
68 Глава 1. Векторная алгебра
1) модуль вектора |~a ×
~
b| = |~a||
~
b|sin(
b
~a
~
b);
2) вектор ~a ×
~
b = ~c перпендикулярен как вектору ~a, так и вектору
~
b;
3) вектор ~c направлен так, чтобы тройка векторов ~a,
~
b,~c была правой, т.е.
его направление соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если
векторы ~a,
~
b и ~c = ~a ×
~
b приведены к общему началу, то вектор ~c должен быть
направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец ко-
торой направлен по первому сомножителю (по ~a), а указательный – по второму
(по
~
b) (рис. 38).
Рис. 40.
Или третье условие определяется так: вектор
~c = ~a ×
~
b направлен так, что кратчайший поворот
от ~a к
~
b виден с его конца совершающимся против
часовой стрелки.
Это определение в некоторых приложениях
формулируется в виде следующего геометриче-
ского построения. Чтобы найти векторное про-
изведение двух векторов ~c = ~a ×
~
b, достаточно
(рис. 40):
1) спроектировать вектор ~a на плоскость π,
перпендикулярную вектору
~
b;
2) полученный вектор ~a
1
, для которого |~a
1
| =
|~a|sin ϕ, повернуть в этой плоскости на прямой
угол так, чтобы поворот наблюдался происходя-
щим по ходу часовой стрелки с той стороны, куда направлен вектор
~
b;
3) вектор
~
b, который получается в результате поворота вектора ~a
1
и для
которого |~a
′
1
| = |~a
1
| = |~a|sin ϕ, умножается на модуль вектора |
~
b|.
Полученный в результат е этих трех операций вектор и будет в ект орным
произведением ~a ×
~
b = ~a
′
1
· |
~
b|, поскольку ~a
′
1
по построению перпендикулярен
одновременно ~a и
~
b и его модуль |~a ×
~
b| = |~a
′
1
||
~
b| = |~a||
~
b|sin ϕ, прич¨ем ~a,
~
b и ~a
′
1
|
~
b|
образуют положительную (правую) тройку векторов.
Свойство линейности можно представить суперпозицией свойств ассоциа-
тивности векторного произведения
(α~a) ×
~
b = α(~a ×
~
b) (4.54)
и его дистрибутивности
(~a
1
+ ~a
2
) ×
~
b = ~a
1
×
~
b + ~a
2
×
~
b. (4.55)
Рис. 41.
Справедливость (4.54) очевидным образом вытека-
ет из геометрического построения векторного про-
изведения (рис. 40). Из этого же геометрического
построения вытекает и соотношение (4.55), для до-
казательства которого нам потребуются некоторые
дополнительные построения (см. рис. 41). Согла сно
схеме геометрического построения в екторного про-
изведения, провед¨ем следующие три операции:
а) через начало O вектора
~
b (рис. 41) провед¨ем
перпендикулярную к нему плоскость π и спроекти-
руем на нее треугольник OA
1
A
2
со сторонами
−→
OA
1
= ~a
1
,
−−→
A
1
A
2
= ~a
2
,
−→
OA
2
=
−→
OA
1
+
−−→
A
1
A
2
= ~a
1
+ ~a
2
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
