ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
70 Глава 1. Векторная алгебра
В самом деле, если сначала направим больш ой и указательный пальцы пра-
вой руки соответственно по векторам ~a и
~
b, а затем по векторам
~
b и ~a, то нам
придется повернуть кисть руки так, что направление среднего пальца во вто-
ром случае окажется противоположным тому направлению, которое он имел в
первом случае.
Антикоммутативность (4.56) векторного произведения вытекает непосред-
ственно из определения и следствия 3.1.1. Действительно, во-первых, переста-
новка сомножителей ~a и
~
b не меняет модуль |~a×
~
b|. А во-вторых, для того что бы
положительная (правая) тройка векторов ~a,
~
b и ~a ×
~
b при перестановке сомно-
жителей ~a и
~
b сохранила свою ориентацию, третий вектор должен изменить
направление на противоположное, откуда и следует (4.56).
Свойство 5. Скалярный множитель λ можно выносить из-под знака вектор-
ного произведения:
[λ~a,
~
b] = [~a, λ
~
b] = λ[~a,
~
b].
Действительно, а) если λ = 0 и ~ak
~
b, то левые и правые части данных ра-
венств будут равны нулю, и формулы эти верны;
б) если λ > 0, то эти формулы очевидны, так как при увеличении одной
стороны параллелограмма в λ раз его площадь также увеличится в λ раз;
в) если λ < 0, то при изменении знака одного из сомножителей модуль
векторного произведения останется неизменным, а направление этого вектора
(векторного произведения) меняется на противоположное.
Свойство 6. Справедливо соотношение
[~a, (
~
b + ~c)] = [~a,
~
b] + [~a, ~c], [(
~
b + ~c),~a] = [
~
b,~a] + [~c,~a],
т.е. векторное произведение подчиняется распределительному закону.
Из сво йств 4–6 следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму
векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Нужно
только следить за тем, чтобы порядок следования множит елей не изменялся,
например,
[(~a +
~
b), (~c − 3
~
d)] = [~a,~c] −3[~a,
~
d] + [
~
b,~c] − 3[
~
b,
~
d].
Свойство 7. Пусть ı, ,
~
k — декартов базис. Тогда векторные произведения
[~ı,~ı] = 0, [~,~] = 0, [
~
k,
~
k] = 0 (4.57)
и
[~,
~
k] = ~ı, [
~
k, ~] = −~ı, [
~
k,~ı] = ~, [~ı,
~
k] = −~. (4.58)
Доказательство. Соотношения (4.57) справедливы, так как |[~ı,~ı]| = 1·1 sin 0 =
0. Аналогично до казывается спра ведливость остальных соотношений в (4.57).
Рис. 43.
Рассмотрим теперь [~ı,~]. Его модуль |[~ı,~]| = 1 · 1 sin 90
◦
= 1
— это площадь параллелограмма, построенного на в екторах ~ı
и ~. Этот параллелограмм — квадрат OADB, сторона которо-
го равна 1 и площ адь равна 1 (рис. 43). Таким образом, [~ı,~]
есть единичный вектор (его длина рав на 1), который перпен-
дикулярен как вектору ~ı, так и вектору ~ и направ лен согласно
правилу правой руки.
Легко заметить, что он со впадает с базисным ортом
~
k, т.е.
[~ı, ~] =
~
k, [~,~ı] = −
~
k.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
