ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 73
4.7. Скалярное и векторное произведение. Определитель Грама
Согласно определению векторного произведения,
|~a ×
~
b| = |~a||
~
b|sin ϕ.
Отсюда
|~a ×
~
b|
2
= |~a|
2
|
~
b|
2
sin
2
ϕ = |~a|
2
|
~
b|
2
(1 − cos
2
ϕ) = |~a|
2
|
~
b|
2
−|~a|
2
|
~
b|
2
cos
2
ϕ.
С уч¨етом того, что
|~a|
2
|
~
b|
2
cos
2
ϕ = (~a ·
~
b)
2
, |~a|
2
= (~a)
2
, |
~
b|
2
= (
~
b)
2
,
запишем
|~a ×
~
b|
2
= ~a
2
~
b
2
−(~a ·
~
b)
2
или
(~a ×
~
b)
2
+ (~a ·
~
b)
2
= ~a
2
~
b
2
. (4.64)
Формула (4.64) называется основным тождеством, связывающим квад-
раты векторного и скалярного произведений.
Нетрудно заметить, что о сновное тождество (4.64) можно записать в виде
определителя
(~a ×
~
b)
2
=
~a ·~a ~a ·
~
b
~
b ·~a
~
b ·
~
b
. (4.65)
Определитель (4.65) называется определителем Грама векторов ~a и
~
b и
обозначается Γ(~a,
~
b), т.е.
Γ(~a,
~
b) =
~a ·~a ~a ·
~
b
~
b ·~a
~
b ·
~
b
. (4.66)
Таким образом, основное тождество (4.64) можно записать так:
(~a ×
~
b)
2
= Γ(~a,
~
b) > 0. (4.67)
Если учесть, что
(~a ×
~
b)
2
= S
2
пар
,
где S
пар
— площа дь параллелограмма, построенного на векторах ~a и
~
b, то по-
лучим равенство
S
пар
=
q
Γ(~a,
~
b). (4.68)
♦ Соотношение (4.68) придает наглядный геометрический смысл определи-
телю Грама двух векторов .
Очевидно, что высота параллелограмма, о пущенного на сторону, предста в-
ляющую вектор ~a, можно найти как
h =
S
пар
|~a|
=
q
Γ(~a,
~
b)
|~a|
=
s
Γ(~a,
~
b)
(~a,~a)
. (4.69)
Если под о пределителем Грама одного вектора понимать (~a,~a) = Γ(~a), то
h =
s
Γ(~a,
~
b)
Γ(~a)
. (4.70)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
