ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5. Произведение трех векторов 75
Таким образом, если известны векторное произведение [~a,
~
b] и один из сомно-
жителей, например ~a, то существует бесконечное множество векторов, которые
при векторном умножении на вектор ~a дадут тот же самый вектор ~c. Отсюда
следует, что операция, обратная векторному произведению («операция деления
вектора на вектор»), определена неоднозначно и потому не получила широкого
применения.
5. Произведение трех векторов
Рассмотрим теперь три вектора ~a,
~
b и ~c. Если перемножить любые два век-
тора скалярно, например ~a ·
~
b, то третий вектор ~c нужно умножа ть на скаляр
(~a,
~
b). Умножение вектора на скаляр уже рассмотрено выше. Если же два лю-
бые вектора, например три вектора ~a,
~
b, мы перемножим векторно: ~a ×
~
b, то
полученный вектор с третьим вектором ~c мы можем перемножить или ска-
лярно, или векторно. В первом случае мы получим векторно-скалярное, или
смешанное, произведение, а во втором — двойное векторное произведение. К их
рассмотрению мы и переходим.
5.1. Смешанное произведение векторов и его свойства
Пусть даны три вектора ~a,
~
b и ~c. Умножив векторно вектор ~a на вектор
~
b,
получим вектор [~a,
~
b]. Если этот вектор умножить скалярно на вектор ~c, полу-
чим число [~a,
~
b] ·~c, кот орое называется векторно-скалярным, или смешанным,
произведением трех векторов ~a,
~
b и ~c и обозначается
([~a,
~
b],~c).
Смешанное произведение — скалярная величина.
Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов определя-
ется следующей теоремой.
Теорема 5.1. Смешанное произведение ([~a,
~
b],~c) равно объ¨ему параллелепипе-
да, построенного на векторах ~a,
~
b и ~c, взятому со знаком плюс, если эта
тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая, т.е.
([~a,
~
b],~c) = ±V. (5.1)
Если векторы ~a,
~
b, ~c компланарны, то ([~a,
~
b],~c) = 0.
Доказательство. Пусть ~a,
~
b, ~c — три некомпланар-
Рис. 46.
ных вектора. На этих векторах как на ребрах постро-
им параллелепипед (рис. 46). Векторное произведе-
ние [~a,
~
b] =
~
d есть вектор, перпендикулярный ~a и
~
b, а
модуль
|[~a,
~
b]| = |
~
d| = |~a||
~
b|sin ϕ
есть площадь параллелограмма, построенного на век-
торах ~a и
~
b. Найд¨ем скалярное произведение
([~a,
~
b],~c) = (
~
d,~c) = |
~
d| · пр
~
d
~c, (5.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
