ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5. Произведение трех векторов 77
Свойство 4. Смешанное произведение векторов равно нулю:
(~a,
~
b,~c) = 0 (5.5)
тогда и только то гда, когда перемножаемые векторы компланарны.
Действительно, объ¨ем параллелепипеда, построенного на перемножаемых в ек-
торах, равен нулю и, наоборот, если объ¨ем равен нулю, то векторы компланар-
ны.
♦ Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их сме-
шанного произведения:
(~a,
~
b,~c) = 0.
♦ В частности, смешанное произведение равно нулю, если два его сомножи-
теля коллинеарны:
(~a, α~a,
~
b) = α([~a,~a],
~
b) = 0.
♦ Если для трех векторов (~a,
~
b,~c) > 0, то тройка векторов ~a,
~
b,~c — правая, в
противном случае тройка векторов ~a,
~
b,~c — левая.
5.2. Выражение смешанного произведения
через координаты сомножителей
Теорема 5.2. Если векторы ~a,
~
b, ~c заданы своими проекциями (координатами)
~a = (x
1
, y
1
, z
1
),
~
b = (x
2
, y
2
, z
2
), ~c = (x
3
, y
3
, z
3
), то смешанное произведение этих
векторов определяется формулой
(~a,
~
b,~c) =
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
. (5.6)
Доказательство. Известно, что
[~a,
~
b] =
~ı ~
~
k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
=
y
1
z
1
y
2
z
2
~ı −
x
1
z
1
x
2
z
2
~ +
x
1
y
1
x
2
y
2
~
k
и ~c = x
3
~ı + y
3
~ + z
3
~
k. Воспользовавшись теоремой о выражении скалярного
произведения двух векторов через проекции сомножителей (4.9), будем иметь
[~a,
~
b] ·~c =
y
1
z
1
y
2
z
2
x
3
−
x
1
z
1
x
2
z
2
y
3
+
x
1
y
1
x
2
y
2
z
3
или, что то же,
[~a,
~
b] ·~c =
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
,
что и требовалось доказать.
Ранее мы по казали, что если векторы ~a,
~
b, ~c компланарны, то (~a,
~
b,~c) = 0.
А согласно теореме 5.2, если смешанное произведение равно нулю, то векторы
линейно зависимы. Поэтому необходимым и достаточным условием компланар-
ности векторов ~a = (x
1
, y
1
, z
1
),
~
b = (x
2
, y
2
, z
2
), ~c = (x
3
, y
3
, z
3
) запишется в та ком
виде:
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
= 0. (5.7)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
