ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5. Произведение трех векторов 79
независимы только при условии Γ(~a,
~
b,~c) 6= 0; в противном случае они линейно
зависимы (т.е. компланарны).
♦ Три взаимно ортогональных ненулевых вектора всегда линейно независи-
мы:
Γ(~a,
~
b,~c) =
~a ·~a ~a ·
~
b ~a ·~c
~
b ·~a
~
b ·
~
b
~
b ·~c
~c ·~a ~c ·
~
b ~c ·~c
=
a
2
0 0
0 b
2
0
0 0 c
2
= a
2
b
2
c
2
6= 0.
Пример 5.2. Найти высоту параллелограмма, построенного на векторах ~a,
~
b,~c,
опущенную из конца вектора ~c, если |~a| = 2, |
~
b| = 1, |~c| = 2, а сами векторы
образуют друг с другом одинаковые углы, равные π/3.
Решение. Следуя (5.10), найд¨ем определители Грама:
Γ(~a,
~
b) =
4 1
1 1
= 3,
Γ(~a,
~
b,~c) =
4 1 2
1 1 1
2 1 4
=
3 1 1
0 1 0
1 1 3
=
3 1
1 3
= 8,
тогда
h =
s
Γ(~a,
~
b,~c)
Γ(~a,
~
b)
=
r
8
3
= 2
r
2
3
.
5.4. Двойное векторное произведение
Двойным векторным произведением векторов называется вектор
~
f, рав-
ный
~
f = [~a, [
~
b,~c]]. (5.11)
Теорема 5.3. Для всех векторов ~a,
~
b, ~c справедливо соотношение
[~a, [
~
b,~c]] =
~
b(~a,~c) −~c(~a,
~
b). (5.12)
Доказательство. Пусть
~a = (x
1
, y
1
, z
1
),
~
b = (x
2
, y
2
, z
2
), ~c = (x
3
, y
3
, z
3
).
Следовательно,
[~a, [
~
b,~c]] =
~ı ~
~
k
x
1
y
1
z
1
y
2
z
2
y
3
z
3
−
x
2
z
2
x
3
z
3
x
2
y
2
x
3
y
3
=
= ~ı{y
1
(x
2
y
3
− y
2
x
3
) + z
1
(x
2
z
3
− z
2
x
3
) + (x
1
x
2
x
3
− x
1
x
2
x
3
)} −
−~{x
1
(x
2
z
3
−z
2
x
3
) − y
1
(y
2
z
3
− z
2
y
3
) + (y
1
y
2
y
3
− y
1
y
2
y
3
)}+
+
~
k{−x
1
(x
2
z
3
− z
2
x
3
) − y
1
(y
2
z
3
−z
2
y
3
) + (z
1
z
2
z
3
−z
1
z
2
z
3
)} =
= (x
2
~ı + y
2
~ + z
2
~
k)(x
1
x
3
+ y
1
y
3
+ z
1
z
3
) −
−(x
3
~ı + y
3
~ + z
3
~
k)(x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
) =
~
b(~a~c) −~c(~a
~
b),
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
