ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7. Основные задачи векторной алгебры 85
соответственно,
|~m| =
3
2
|~p| =
3
2
,
впрочем, этот же результат следует из (6.6):
|~m| =
1
2
q
|~a|
2
+ |
~
b|
2
+ 2(~a,
~
b) =
1
2
q
5 −2
√
2 + 8 + 4
√
2 + 2(−2 −
√
2) =
3
2
;
д) вектор-биссектриса ~n и ее модуль |~n| о пределяются формулами (6.11 ) и
(6.12), для упрощения примем
|~a| =
q
5 − 2
√
2 ≈ 1,5; |
~
b| = 2
q
2 +
√
2 ≈ 3,7; (~a,
~
b) = −(2 +
√
2) ≈ −3,4,
тогда
~n =
3,7~a + 1,5
~
b
5,2
=
3,7(~p −~q) + 1,5(2~p + ~q)
5,2
≈ 1,3~p − 0,1~q,
|~n| ≈
p
1,3
2
|~p|
2
− 0,26(~p, ~q) + 0,01|~q|
2
≈
√
1,4 ≈ 1,2,
этот же результат следует из (6.12).
7. Основные задачи векторной алгебры
7.1. Определение вектора по известному скалярному произведению
с заданным вектором
Рассмотрим уравнение
~x ·~a = α, (7.1)
где ~x — в ектор, подлежащий определению, а вектор ~a и число α — заданные
величины.
Решение уравнения (7.1) эквивалентно нахождению вектора ~x по его ска-
лярному произведению с заданным вектором ~a. Как мы уже знаем, решение
этой задачи неоднозначно. Исследуем характер этой неоднозначности.
Пусть ~x — решение уравнения ( 7.1). Если мы умножим его векторно на
вектор ~a, то мы получим некоторый вектор
~
b:
~a ×~x =
~
b. (7.2)
Умножив (7.2) еще раз векторно на ~a, получим
(~a ×~x) ×~a =
~
b ×~a. (7.3)
Воспользовавшись разложением дво йного векторного произведения в виде (5.12)
и учитывая (7.1), запишем
(~a ×~x) ×~a = ~x(~a ·~a) −~a(~x ·~a) = |~a|
2
~x − α~a. (7.4)
Отсюда
|~a|
2
~x −α~a =
~
b ×~a
и, следовательно,
~x =
1
|~a|
2
(α~a +
~
b ×~a). (7.5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
