ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
88 Глава 1. Векторная алгебра
7.4. Определение вектора по тр¨ем скалярным произведениям
Требуется найти неизвестный вектор ~x, если известны его скалярные произ-
ведения с тремя некомпланарными векторами ~a,
~
b,~c. Рассматриваемая задача
сводится к решению трех уравнений
~a ·~x = α,
~
b ·~x = β, ~c ·~x = γ. (7.12)
Умножим скалярно первое уравнение из (7.12) на
~
b, а второе на (−~a) и сложим
их:
~
b(~a ·~x) −~a(
~
b ·~x) =
~
bα −~aβ.
Отсюда
(~a ×
~
b) ×~x = α
~
b − β~a.
Это уравнение вместе с третьим уравнением исходной системы
(~a ×
~
b) ×~x = α
~
b − β~a,
~c ·~x = γ
(7.13)
дают систему вида (7.9). Решение системы (7.13), согласно (7.10), имеет вид
~x = γ
~a ×
~
b
(~a ×
~
b) ·~c
+
(α
~
b − β~a) ×~c
(~a ×
~
b) ·~c
=
α(
~
b ×~c) + β(~c ×~a) + γ(~a ×
~
b)
(~a,
~
b,~c)
. (7.14)
7.5. Линейное векторное уравнение
Требуется найти неизвестный вектор ~x из уравнения
α~x + ~a × ~x =
~
b (7.15)
по известным векторам ~a,
~
b и скаляру α.
Умножим исходное уравнение (7.15) скалярно на ~x и получим
α(~x ·~a) + (~a × ~x) ·~a =
~
b ·~a,
откуда следует
~x ·~a =
~
b ·~a
α
. (7.16)
Умножение исходного уравнения (7.15) векторно на тот же вектор дает
α~x ×~a + (~a × ~x) ×~a =
~
b ×~a
или
α(~a ×~a) + ~x|~a|
2
−~a · (~x ·~a) =
~
b ×~a. (7.17)
Исключим векторное произв едение ~x×~a из (7.17) с помощью исходного уравне-
ния (7.15): ~a×~x =
~
b−α~x, а скалярное произведение (~x·~a) — из (7.17) с помощью
(7.16). После этого уравнение (7.17 ) примет вид
~x|~a|
2
−~a
(
~
b ·~a)
α
−α(
~
b − α~x) =
~
b ×~a,
откуда получим
(|~a|
2
+ α
2
)~x =
~
b ×~a + α
~
b +
~a
α
(
~
b ·~a)
и, следовательно,
~x =
α(
~
b ×~a) + α
2
~
b + |~a|
2
(
~
b ·~a)
α(α
2
+ |~a|
2
)
. (7.18)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
