Составители:
Рубрика:
5.4.1.5 Квантование разрешенных состояний, число состояний,
плотность состояний
Чтобы выполнялись граничные условия Борна–Кармана (5.4.4) для
волновых функций Блоха
(5.4.5), произведение k на N (большое целое
число) должно быть кратно 2π/
a, т.е. волновые векторы могут иметь
только значения, кратные 2π/(
Na),
222
0 2 3
,, ,k
N
aNaNa
π
π
=
π
… (и т.д.) (5.4.16)
Таким образом, размер зоны Бриллюэна имеет ширину 2π/a, зави-
сящую только от постоянной решетки, а шаг квантования зависит толь-
ко от размеров кристалла. В результате в кубическом элементе
кристалла с линейным размером
L = Na имеется ровно N разрешенных
значений
k в проекциях на каждую декартову ось, а в объеме кристалла
–
N
3
узлов и N
3
разрешенных значений k. Так как существует еще спи-
новое квантовое число, то в каждой зоне, с учетом принципа Паули,
может находиться 2
N
3
электронов, по 2 на каждый узел кристалла.
Все эти состояния как-то распределены по энергиям и только от
энергии зависит вероятность их заполнения, см. разд.
5.4.1.7, распреде-
ление Ферми
(5.4.26). Значит, заселяться они будут с разными вероят-
ностями и для расчета равновесного количества электронов в зоне
удобно ввести понятие
ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ.
ПЛОТНОСТЬЮ СОСТОЯНИЙ называется количество разрешенных со-
стояний в единице объема кристалла, приходящихся на единичный
энергетический интервал
.
Поскольку для изотропного кристалла в кубике со стороной
L = Na
шаг квантования по каждому из направлений равен 2π⁄(
Na) = 2π/L, то в
k–пространстве каждое k–состояние занимает объем (2π)
3
⁄V (V = L
3
) и в
нем могут находиться одновременно два электрона с различными спи-
нами. Следовательно, в сфере радиусом k (в обратном пространстве)
могут находиться
()
()
3
3
4
2
3
2
kV
Nk
π
=
π
(5.4.17)
электронов. Если закон дисперсии – параболический, т.е.
mkE 2
22
=
,
то для количества состояний в единице объема
n получим:
60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
