Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

8
I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОДИНАМИКЕ
Эти модели охватывают разнообразные задачи плоских безвих-
ревых движений идеальной несжимаемой жидкости. Рассмот-
рим теоремы Кельвина и Лагранжа об условиях существования
таких безвихревых течений.
Согласно кинематической теореме Кельвина об изменении во времени
циркуляции вектора скорости, индивидуальная производная во времени от
циркуляции вектора скорости по замкнутому жидкому (т.е. состоящему во
все время движения из одних и тех же частиц жидкости) контуру равна
циркуляции вектора ускорения по тому же контуру, т.е.
∫∫
⋅
υ
=⋅υ
CC
rd
dt
d
rd
dt
d
r
r
rr
. (1.1)
Возьмем уравнение движения Эйлера:
p grad
1
F
dt
d
ρ
−=
υ
r
v
, которое, в
случае потенциальности объемных сил и баротропности движения, можно
записать в виде:
)ПP(grad
dt
d
+−=
υ
v
, (1.2)
поскольку П gradF −=
r
(когда объемные силы имеют потенциал П), а гра-
диент функции давления Р при баротропном процессе
p grad
1
P grad
ρ
−=
.
Подставляя уравнение (1.2) в (1.1), получим:
∫∫∫
+−=⋅+−=⋅υ
CCC
),РП(drd)PП(gradrd
dt
d
rrr
т.к.
drd
r
d
d
rdgrad =⋅=⋅
r
r
r
.
При однозначности функций Р и П контурный интеграл по замкнуто-
му контуру от полного дифференциала равен нулю, и тогда:
0rd
dt
d
=⋅υ
∫
rr
.
Следовательно,
constrd
=
⋅
υ=Γ
∫
r
r
(1.3)
Уравнение (1.3) и является выражением теоремы Кельвина.
При баротропном движении идеальной жидкости под действием поля объ-
емных сил с однозначным потенциалом циркуляция вектора скорости по
замкнутому жидкому контуру не меняется.
Если учесть, что согласно теореме Стокса циркуляция вектора
скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивно-

Страницы