Введение в математическое моделирование процессов аэрогидромеханики. Ч.II. Загузов И.С. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Продемонстрируем вывод критериев подобия на примере какого-
нибудь уравнения, например, уравнения движения вязкой среды в сле-
дующем виде:
() (
2
2
3
F gradp grad div div S
t
)
υ
ρ
ρυ υ ρ μ υ μ
∂
+⋅∇=− − +
∂
G
G
GG G
, (3.1)
где
t
υ
∂
∂
G
– локальная производная вектора скорости или локальное ускоре-
ние;
(
)
υ
υ
⋅∇
GG
– конвективная производная вектора скорости или конвек-
тивное ускорение; S – симметричная часть дифференциального тензора
векторного поля скоростей
()
r
υ
υ
∂
∇=
∂
G
G
.
Внося в уравнение (3.1) выражения для параметров через безразмер-
ные величины и вышеперечисленные масштабы, будем иметь:
1) для левой части уравнения движения
() ()
2
1
111
1
tttl
υρυυρυ
1
ρ
ρυ υ ρ ρ υ υ
∞∞ ∞∞
∞∞
∂∂
+⋅∇= + ⋅∇
∂∂
G
GG
. (3.2)
Параметры с индексом «∞» можно выносить за знак производной, так
как они являются константами.
Рассмотрим подробней линейное преобразование конвективного ус-
корения
(
)
υ
υ
⋅∇
GG
.
Будем использовать метод подобных преобразований, в котором су-
ществует один собственный масштаб по всем координатам (в отличие от
метода афинных преобразований, где собственные масштабы по разным
координатам будут различными).
В этом случае
1
x
x
υ
υυ
∞
=
;
1
yy
υ
υυ
∞
=
;
1
zz
υ
υυ
∞
=
;
1
x
lx
∞
=
;
1
yly
∞
=
;
1
zlz
∞
=
и т.д.
Выражение
(
)
υ
⋅∇
G
является скалярным произведением вектора скоро-
сти и вектора (оператора Гамильтона):
∇
ijk
x
yz
∂
∂∂
∇= + +
∂
∂∂
G
G
G
;
()
()
xy z
ijk i jk
x
yz
υυυυ
⎛⎞
∂∂∂
⋅∇ = + + ⋅ + +
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
G
G
GG G G
G
.
При скалярном перемножении векторов:
1ii jj kk
⋅
=⋅=⋅=
GG
G
GGG
,
0ij jk ki
⋅
=⋅=⋅=
G
G
G
GG G
.
Тогда
()
xyz
x
yz
υυυυ
∂∂
⋅∇ = + +
∂∂
G
∂
∂
.
80
Для составляющей конвективного ускорения вдоль оси Х:

Страницы