ВУЗ:
Составители:
Введение
В теории функций комплексного переменного ставится задача
распространения на комплексную плоскость обычных функций вещественного
переменного. При этом функции очень часто приобретают новые свойства –
монотонные функции становятся периодическими, такие функции, как sin z,
оказываются неограниченными и т.п. Поведение функций полностью можно
описать аналитическими формулами, но не зря говорят, что "лучше
один раз
увидеть..." Поэтому для наглядности изображают функции как поверхности
над комплексной плоскостью (x, y) – рисуют "рельефы" функций или
поверхности модуля в пространстве (x, y, u) с уравнением u = |f(z)|.
Такой метод изображения ввел Ф. Эмде. Приведем здесь поучительную
цитату из предисловия Ф. Эмде 1933 года ко 2-му изданию его книги
:
"При этом представлении, примененном здесь впервые, функция
показывается во всей полноте. В то время как прежде нужно было мысленно
сочетать разрозненные и независимые свойства и особенности функции,
теперь их удалось соединить в одно обозримое целое. К сожалению, время не
позволило представить все функции таким образом. Остается еще многое
сделать. Я
надеюсь, что математические институты продолжат начатую
работу. По существу это скорее дело учебников, чем таблиц функций. Если в
каждом учебнике дифференциального исчисления поведение простых функций
в действительной области иллюстрируется посредством кривых, то тем
более это необходимо сделать для более сложных функций и функций в
комплексной области".
Спустя годы мы видим,
насколько был прав Ф. Эмде. Такие рельефы
сразу выявляют новые свойства элементарных функций; они незаменимы для
представления поведения функций в окрестности особых точек. И, конечно, в
полной мере раскрывается значение таких рельефов при изучении свойств
специальных функций, таких, как функции Бесселя, двоякопериодические
функции и т.п.
Но главной целью, к которой
следует стремиться при изучении
"методом пристального всматривания" таких поверхностей, является, по
нашему мнению, воспитание навыков образного мышления. Эта задача всегда
была весьма важной. Мы приведем здесь только три примера,
иллюстрирующих такую важность и характеризующих проникновение
геометрических представлений в естественные науки.
В конце 50-х началась активная работа по экспериментальному
определению и
построению т.н. поверхностей Ферми, характеризующих в
пространстве скоростей электронные состояния в металлах и имеющих иногда
такой сложный вид, что название "монстр" кажется обыденным.
В 70-е годы была построена теория катастроф, геометрический подход в
которой опирается на анализ структуры и изменения поверхностей,
описываемых небольшим числом многочленов.
3
