Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
n
y
= sin θ sin ϕ. Например, для F
z
имеем:
f
z
=
Z
π/2
0
Z
2π
0
E
2
8π
cos θR
2
sin θ dθ dϕ =
Q
2
8R
2
.
Проекции F
x
= F
y
= 0.
2 способ решения. В соответствии с (92) имеем:
F
z
=
I
[M
xz
n
x
+ M
yz
n
y
+ M
zz
n
z
] dS.
Поверхность интегрирования включает половину сферы и основание.
Однако интеграл по основанию равен нулю в силу M
ik
=0 для точек r < R.
Таким образом,
F
z
=
Z
π
0
Z
2π
0
E
x
E
z
4π
sin θ cos ϕ +
E
y
E
z
4π
sin θ sin ϕ +
E
2
z
−
1
2
E
2
4π
cos θ
sin θ dθ dϕ.
(99)
По определению на сфере E
x
= Q sin θ cos ϕ/R
2
, E
y
= Q sin θ sin ϕ/R
2
,
E
z
= Q cos θ/R
2
. Подставляя E
k
в (99), находим после выполнения
интегрирования: F
z
= Q
2
/8R
2
, как и при первом способе решения.
Пример 1.8.2. Шар радиуса R заряжен с объемной плотностью
ρ = const. Найти силу, разрывающую шар на две равные половины.
Решить задачу двумя методами.
На основании решения примера 1.2.2 известно, что поле такой системы
зарядов есть
~
E =
4
3
πρ
~
r, r < R;
~
E =
Q
r
2
~
r
r
, r > R (100)
1 способ решения. В соответствии с (90) сила, действующая на единицу
объема равна ρ
~
E. Следовательно, для определения суммарной силы,
действующей на полусферу, надо проинтегрировать данное выражение по
объему полусферы. При интегрировании получим, что F
x
и F
y
равны нулю.
Соответственно для F
z
находим:
F
z
=
Z
R
0
Z
π/2
0
Z
2π
0
ρE(r) cos θr
2
dr sin θ dθ dϕ =
3
16
Q
2
R
2
,
где Q — полный заряд шара.
2 способ решения. На основании (92) необходимо интегрировать по
замкнутой поверхности, которая в данном случае состоит из основания
и поверхности полусферы. То есть интеграл разбивается на сумму двух

Страницы