Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
1.3 Решение задач электростатики методом интеграла Пуассона
Решение уравнения Пуассона (5) позволяет в общем случае определять
поле независимо от симметрии в распределении зарядов. Вычисления по
формулам (6) - (8) удобно проводить с использованием формулы, известной
из курса математической физики:
1
|
~
r −
~
r
0
|
=
∞
X
l=0
r
l
<
r
l+1
>
P
l
(cos(
~
n ·
~
n
0
)) =
∞
X
l=0
+l
X
m=−l
4π
2l + 1
r
l
<
r
l+1
>
Y
lm
(θ, ϕ)Y
∗
lm
(θ
0
, ϕ
0
).
(22)
Здесь r
<
= min(r, r
0
), r
>
= max(r, r
0
), P
l
(x) - полином Лежандра [2],
~
n =
~
r/r, Y
lm
- сферическая функция, θ, ϕ - углы сферической системы
координат, задающие направление вектора
~
r, а θ
0
, ϕ
0
- направление вектора
~
r
0
. Полный список свойств сферических функций и их явный вид при
конкретных значениях l и m приведен, например, в [2].
Сферические функции образуют полную, ортонормированную систему
функций:
Z
π
0
Z
2π
0
Y
∗
lm
(θ, ϕ)Y
0
lm
0
(θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = δ
ll
0
δ
mm
0
, (23)
δ
ab
- символ Кронекера. Приведем для справки явный вид Y
lm
в нескольких
простейших случаях:
Y
00
=
1
√
4π
; Y
10
(θ, ϕ) =
v
u
u
t
3
4π
cos θ; Y
1±1
(θ, ϕ) = ∓
v
u
u
t
3
8π
sin θe
±iϕ
. (24)
Используя (22), решение уравнения Пуассона можно представить в виде
мультипольного разложения:
ϕ(
~
r ) =
1
ε
∞
X
l=0
ϕ
l
(
~
r ), (25)
здесь мультиполь ϕ
l
определен соотношением:
ϕ
l
(
~
r) =
+l
X
m=−l
4π
2l + 1
Y
lm
(θ, ϕ)
Z
ρ(r
0
, θ
0
, ϕ
0
)
r
l
<
r
l+1
>
Y
∗
lm
(θ
0
, ϕ
0
) dV
0
, (26)
dV
0
- элемент объема интегрирования, который, например, в сферической
системе координат равен dV
0
= r
0
2
dr
0
sin θ
0
dϕ
0
. Аналогичные формулы
следуют из (7) и (8).
Пример 1.3.1. Кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью
τ. Найти поле в любой точке пространства (см. рис. 4 на стр. 7).

Страницы