Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
const на сфере постоянного радиуса. Выбирая в качестве
˜
S в (13) сферу
радиуса r, получим (14). Использование теоремы Гаусса должно быть
выполнено с соблюдением важного условия, а именно: заряд в (2) - это
тот заряд, который находится внутри поверхности интегрирования. Отсюда,
если точка наблюдения лежит внутри шара r < R,
E · 4πr
2
= 4π
Z
r
0
ρ(r
0
)dv
0
= 4πQ(r), E(r) =
Q(r)
r
2
, (18)
где Q(x) определяется выражением
Рис. 2:
Q(x) =
Z
x
0
ρ(r)r
2
dr
Z
π
0
sin θdθ
Z
2π
0
dϕ.
(19)
Соответственно, если r > R, находим:
E(r) = Q(R)/r
2
. (20)
Здесь Q(R) - полный заряд шара.
Скалярный потенциал ϕ находим
интегрированием вектора
~
E вдоль
~
r
аналогично (16):
ϕ(∞) −ϕ(r) = −
Z
R
r
Q(r
0
)
r
0
2
dr
0
−
Z
∞
R
Q(R)
r
0
2
dr
0
,
т. е.
ϕ(r) =
Q(R)/R +
R
R
r
Q(x)/x
2
dx, r ≤ R
Q(R)/r, r ≥ R
(21)
Комментарий: в частном случае ρ = const получим E(r) = Q/r
2
для
r > R и E =
4
3
πρr для r < R. Как видно, поле вне шара совпадает с
полем точечного заряда Q(R), расположенного в начале координат.
Пример 1.2.3. Найти напряженность поля и скалярный потенциал
в произвольной точке пространства, создаваемые бесконечным
цилиндром радиуса R, заряженным с объемной плотностью ρ(r) =
ar
n
. Здесь r - радиальная переменная цилиндрической системы
координат, a = const, n = 0, 1, 2, . . .
Из условий симметрии задачи следует, что
~
E = E(r)
~
r
r
и E(r) - постоянна
на цилиндрической поверхности фиксированного радиуса (доказательство
провести аналогично рассуждениям, приведенным в примере 1.2.2 cтр.3). В

Страницы