Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3
а величина этого вектора одинакова на сфере постоянного радиуса. В связи
с этим, если выбрать в качестве
˜
S в (13) сферу радиуса r, получим:
Рис. 1:
I
~
D · d
~
S ⇒ 4πr
2
E(r). (14)
По условию теоремы Гаусса (2) поток
вектора равен 4π × , т.е.
~
E =
q
r
2
·
~
r
r
. (15)
Для определения скалярного
потенциала выполним интегрирование в (4) вдоль радиуса-вектора от
точки r до ∞ :
ϕ(∞) − ϕ(r) = −
Z
∞
r
~
E · d
~
l = −
Z
∞
r
q
r
0
2
dr
0
=
q
r
0
∞
r
= −
q
r
. (16)
Исходя из определения потенциала, ясно, что ϕ определен с точностью
до постоянной величины. Общепринято считать ϕ(∞) = 0, т.е. потенциал
точечного заряда, расположенного в начале координат, имеет вид:
ϕ(r) =
q
r
. (17)
Пример 1.2.2 Найти напряженность поля
~
E и скалярный
потенциал ϕ в каждой точке пространства, создаваемые шаром
радиуса R, заряженным сферически симметрично с объемной
плотностью ρ(r) в системе координат, связанной с центром шара.
Для решения задачи докажем, что напряженность в любой точке
пространства направлена вдоль радиуса-вектора к данной точке и что на
сфере постоянного радиуса величина напряженности постоянна, т.е.
~
E =
E(r)
~
r/r. То, что
~
E k
~
r, ясно из следующих рассуждений. Выделим в
шаре бесконечно малый объем (т. A). Поле, создаваемое A в P , обозначим
~
E
A
. Поле, создаваемое т. A
0
, симметричной относительно OP , обозначим
~
E
A
0
. Очевидно, что |
~
E
A
| = |
~
E
A
0
|. Следовательно, результирующий вектор
по принципу суперпозиции направлен вдоль
~
r. Поле всего шара можно
представить как суперпозицию полей симметрично расположенных пар
точек. В результате ясно, что
~
E k
~
r. Если вращать шар относительно
точки O, физически в системе ничего не изменится. Следовательно, |
~
E| =

Страницы