Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Исходя из цилиндрической симметрии в выражении (8), следует выбрать:
dl = Rdα
0
,
~
r =
~
ix +
~
jy +
~
kz,
~
r
0
=
~
iR cos α
0
+
~
jR sin α
0
,
|
~
r −
~
r
0
| =
q
r
2
+ R
2
− 2R(x cos α
0
+ y sin α
0
)
.
В результате
Рис. 4:
ϕ(
~
r ) =
Z
2π
0
τR
q
r
2
+ R
2
− 2R(x cos α
0
+ y sin α
0
)
dα
0
(27)
В общем случае этот интеграл вычисляется через
эллиптический интеграл первого рода (см. в [3],
[4]).
Продемонстрируем вычисление этого выражения методом
мультипольных разложений с учетом формулы (22). В данном случае
находим:
ϕ(
~
r ) = τ ·
X
kq
4π
2k + 1
Y
∗
kq
(θ, α)
r
k
<
r
k+1
>
Z
2π
0
Y
kq
(θ
0
, α
0
)R dα
0
где r
<
= min(R, r), r
>
= max(R, r). На основании определения
сферических функций [2] интеграл по угловой переменной α равен:
Z
2π
0
Y
kq
π
2
, α
0
!
dα
0
= 2πδ
q0
Y
kq
π
2
, 0
!
= 2πδ
q0
v
u
u
t
2k + 1
4π
P
k
(0)
Известно, что полиномы Лежандра P
l
удовлетворяют условию [3]: P
l
(0) =
0 для l нечетных, а для l четных P
l
(0) = (−1)
l/2
l!/2
l
(l/2!)
2
. В результате
находим (выполнив замену индекса суммирования k = 2n):
ϕ(
~
r ) = 2πτR
∞
X
n=0
r
2n
<
r
2n+1
>
(−1)
n
(2n)!
2
2n
(n!)
2
P
2n
(cos θ). (28)
На оси кольца (при z > 0 ) θ = 0. При этом cos θ = 1 и P
2n
(1) = 1,
и ряд (28) суммируется в выражение, которое может быть легко получено
по принципу суперпозиции ϕ(z) = 2πτR/
√
z
2
+ R
2
. Для доказательства
выпишем несколько первых членов ряда (28)
ϕ(z > 0) = 2πτR ·
1
r
>
1 −
1
2
r
<
r
>
!
2
+
3
8
r
<
r
>
!
4
−
5
16
r
<
r
>
!
6
+ . . .

Страницы