Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
3. r > R
2
. В этом случае r
<
= r
0
, r
>
= r:
Z
R
2
R
1
r
2n
<
r
2n+1
>
r
0
dr
0
=
1
2n + 2
·
1
r
2n+1
h
R
2n+2
2
− R
2n+2
1
i
Пример 1.3.3. Сфера радиуса R заряжена с поверхностной
плотностью σ = σ
0
cos θ. Найти поле в любой точке пространства.
(рис 6 c. 8)
В (7), в сферической системе координат, имеем dS =R
2
sinθ
0
dθ
0
dα=
R
2
dΩ
0
. Используя мультипольное разложение (22) и явный вид функции Y
10
(24), получим:
ϕ(
~
r ) =
X
kq
4πσ
2k + 1
·
r
k
<
r
k+1
>
Y
kq
(θ, α)
Z
Y
10
Y
kq
dΩ
0
R
2
v
u
u
t
4π
3
=
4πσ
3
·
r
<
r
2
>
cos θR
2
Отсюда находим:
ϕ(r) =
4πσ/3 · r · cos θ, r < R
4πσ/3 · R
3
/r
2
· cos θ, r > R
(29)
Пример 1.3.4. Шар радиуса R
Рис. 7:
заряжен с объемной плотностью ρ =
ρ
0
cos θ. Найти поле в любой точке
пространства.
В данном случае необходимо
воспользоваться формулой (6). Повторяя
вычисления интегралов по угловым
переменным аналогично предыдущему
примеру, находим:
ϕ(
~
r ) =
4πρ
3
cos θ
Z
R
0
r
<
r
2
>
r
0
2
dr
0
.
Рассмотрим два случая в соответствии с геометрией системы.
1. r > R
ϕ(
~
r ) =
4πρ
0
3
·
cos θ
r
2
Z
R
0
r
0
3
dr
0
=
πρ
0
3
·
cos θ
r
2
· R
4
(30)
2. r < R
ϕ(
~
r ) =
4π
0
ρ
3
cos θ ·
Z
r
0
r
<
r
2
>
r
0
2
dr
0
+
Z
R
r
r
<
r
2
>
r
0
2
dr
0
= πρ
0
r
4
3
R − r
!
cos θ

Страницы