Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Сумма двух выражений (32) и (33) дает искомый результат. В частном
случае на оси z найдем из (33):
ϕ(z) = ϕ + ϕ = 2πσ
−
√
R
2
+ z
2
+
4
3
πρR
3
/|z|, |z| ≥ R
2
3
πρR
2
(3 −z
2
/r
2
), |z| < R
Задание на дом: решить задачи 2.4 - 2.6 на стр 32.
1.4 Решение неоднородного уравнения Пуассона
Пример 1.4.1. На расстоянии a от бесконечной плоскости
находится точечный заряд q. Потенциал плоскости
поддерживается равным нулю. Определить поле над плоскостью.
Для всех точек z > 0
∇
2
ϕ = −4πqδ(
~
r −
~
a). (34)
Общее решение уравнения (34) есть:
ϕ(
~
r ) =
q
|
~
r −
~
a |
+ ϕ
0
. (35)
Здесь первое слагаемое - частное решение неоднородного уравнения (34), а
ϕ
0
- общее решение однородного уравнения ∇
2
ϕ
0
= 0, которое может быть
представлено в виде
ϕ
0
(
~
r ) =
∞
X
l=0
A
l
R
l
+ B
l
r
(−l−1)
Y
l0
(θ, ϕ) (36)
Суммирование по индексу m в (36) отсутствует в связи с осевой симметрией
по z. Для удовлетворения физических условий надо положить A
l
= 0 для
r > a и B
l
=0 для r < a. По условию задачи ϕ на плоскости x, y обращается
в ноль. Запишем разложение потенциала по мультиполям для точек на
плоскости xy:
q
|
~
r −
~
a|
=
X
l
4πq
2l + 1
·
r
1
<
r
l+1
>
Y
∗
l0
(θ
a
, ϕ
a
)Y
l0
π
2
, ϕ
!
(37)
Здесь r
<
= min(r, a), r
>
= max(r, a). В результате находим:
X
l
A
l
r
l
Y
l0
π
2
, ϕ
!
+
4πq
2l + 1
r
l
a
l+1
Y
∗
l0
(0, 0)Y
l0
π
2
, ϕ
!
= 0.
Решениями этого уравнения являются два соотношения:
A
(1)
l
= −
4πq
2l + 1
1
a
l+1
Y
∗
l0
(0, 0); A
(2)
l
= −
4πq
2l + 1
1
a
l+1
(−1)
l
Y
∗
l0
(π, 0).

Страницы