Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
при известной функции ρ
lm
или ρ(r, θ, ρ), и общего решения однородного
уравнения. Общее решение однородного уравнения есть:
rϕ
(i)
lm
= A
(i)
l
r
l+1
+ B
(i)
l
r
−l
; i = 1, 2
Учитывая требование ограниченности потенциала в нуле и на
бесконечности:
ϕ
(1)
lm
= A
l
r
l
+
1
r
f
l
(r), r < R; ϕ
(2)
lm
= B
l
1
r
l+1
, r > R,
где f
l
удовлетворяет уравнению:
f
00
lm
−
l(l + 1)
r
2
f
lm
= −4πrρ
lm
(r)
Коэффициенты A
l
и B
l
находятся из условий
ϕ
(1)
lm
(R) = ϕ
(2)
lm
(R);
∂ϕ
(1)
lm
∂r
r=R
=
∂ϕ
(2)
lm
∂r
r=R
,
то есть:
A
l
R
l
+
1
R
f
l
(R) = B
l
1
R
l+2
;
lA
l
R
l−1
−
1
R
2
f
l
(R) +
1
R
f
0
(R) = −B
l
l + 1
R
l+2
Решение данных алгебраических уравнений имеет вид:
B
l
=
R
1+1
2l + 1
"
l + 1
R
f(R) − f
0
(R)
#
; A
l
= −
1
R
l
(2l + 1)
"
1
R
f(R) + f
0
(R)
#
.
Таким образом, окончательно
ϕ
(1)
lm
= −
1
2l + 1
·
1
R
l
"
l
R
f(R) + f
0
(R)
#
r
l
+
1
r
f(r), (45)
ϕ
(2)
lm
= −
1
2l + 1
R
l+1
"
l + 1
R
f(R) − f
0
(R)
#
1
r
l+1
(46)
Подставляя эти выражения в (42), получаем требуемый результат.
Пример 1.4.3. Используя результаты предыдущей задачи, найти
скалярный потенциал и напряженность поля в любой точке
пространства, если шар заряжен с объемной плотностью ρ =
ρ
0
cos θ. Сравнить полученный результат с решением примера 1.3.4
(см. задачу N 55 в [1]).

Страницы