Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
По условию задачи на поверхности шара ϕ
1
(R, θ, ϕ) =V (θ, ϕ) =ϕ
2
(r, θ, ϕ).
Представим V (θ, ϕ) в виде:
V (θ, ϕ) =
X
lm
V
lm
Y
lm
(θ, ϕ), V
lm
=
Z
π
0
Z
2π
0
V (θ, ϕ)Y
∗
lm
(θ, ϕ) sin θdθdϕ. (51)
В результате находим:
A
lm
= V
lm
/R
l
; B
lm
= V
lm
R
l+1
; (52)
Подставляя (52) в (50), получаем требуемый результат. Рассмотрим
частный случай V = V
0
cos θ. На основе найденного общего решения для
потенциалов (50) получим:
ϕ
1
= V
0
r
R
cos θ, r ≤ R; ϕ
2
= V
0
R
r
!
2
cos θ, r ≥ R.
В соответствии с (12), зная скачок напряженности поля на границе, можно
определить поверхностную плотность заряда на сфере:
σ =
1
4π
∂ϕ
1
∂r
r=R
−
∂ϕ
2
∂r
r=R
=
3
4π
·
V
0
R
cos θ = σ
0
cos θ.
Самостоятельно рассмотреть случай V = const.
Пример 1.4.5. Две полусферы имеют потенциал V и −V . Найти поле в
произвольной точке пространства.
Используя результаты предыдущей задачи, вычислим коэффициенты V
lm
.
В данном случае получаем:
V
lm
=
Z
π/2
0
Z
2π
0
V Y
∗
lm
(θ, ϕ)dΩ +
Z
π
π/2
Z
2π
0
(−V )Y
∗
lm
(θ, ϕ)dΩ. (53)
Выполняя интегрирование по ϕ от 0 до 2π, находим:
V
lm
= V
Z
π/2
0
Y
∗
l0
(θ, 0)2πδ
m0
− V
Z
π
π/2
Y
∗
l0
(θ, 0)2πδ
l0
.
Выражая сферическую функцию через полином Лежандра Y
l0
(θ, 0) =
r
2l+1
4π
P
l
(cos θ), сделаем замену переменной интегрирования x = cos θ, в
результате
V
lm
= V 2π
v
u
u
t
2l + 1
4π
δ
m0
"
Z
1
0
P
l
(x)dx −
Z
0
−1
P
l
(x)dx
#

Страницы