Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Представив потенциал в виде ϕ = X(x)Y (y)Z(z) и разделив (57) на ϕ
стандартным методом разделения переменных, получим:
1
X
d
2
X
dx
2
= −α
2
;
1
Y
d
2
Y
dy
2
= −β
2
;
1
Z
d
2
Z
dz
2
= γ
2
,
где α
2
+ β
2
= γ
2
. Считая α и β положительными, получим в
качестве решения трех дифференциальных уравнений функции exp(±iαx),
exp(±iβy), exp(±γz). Их линейные суперпозиции позволяют получить
решение конкретной краевой задачи.
В данном примере из требования ϕ = 0 при x =
Рис. 9:
0, y = 0, z = 0 вытекает, что X, Y, Z имеют вид:
X(x) = sin αx; Y (y) = sin βy; Z = sh
q
α
2
+ β
2
.
(58)
Из условия ϕ = 0 при x = a и y = b следует, что
αa = nπ и βb = mπ, где n, m — любые целые числа
±1, ±2, ±3... . Вводя обозначения α
n
= nπ/a, β
m
=
mπ/b, γ
nm
= π
r
n
a
2
+
m
b
2
, запишем частное
решение в виде: ϕ
nm
(x, y, z) = sin α
n
x · sin β
m
y · sh γ
nm
z.
Данное решение удовлетворяет граничным условиям на всех гранях,
кроме z = c. Разложим искомый потенциал в ряд по функциям ϕ
nm
:
ϕ(x, y, c) = V (x, y) =
X
n,m
A
nm
ϕ
nm
(x, y, c). (59)
Коэффициенты разложения определяются из граничного условия
ϕ(x, y, c) = V (x, y) =
X
nm
A
nm
ϕ
nm
(x, y, c).
Полученное соотношение представляет собой разложение Фурье в
двойной ряд Фурье. Напомним определение для ряда Фурье:
f(x) =
A
0
2
+
X
m=1
∞
"
A
m
cos
2πmx
a
!
+ B
m
cos
2πmx
a
!#
, (60)
где
A
m
=
2
a
Z
a/2
−a/2
f(x) cos
2πmx
a
!
dx; B
m
=
2
a
Z
a/2
−a/2
f(x) sin
2πmx
a
!
dx.
Следовательно, коэффициенты A
nm
равны:
A
nm
=
4
a
2
sh γ
nm
c
Z
a
0
dx
Z
b
0
dy V (x, y) sin α
n
x sin β
m
y.

Страницы