Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Таким образом, коэффициенты A
nm
и B
nm
в (64) определяются
выражениями:
A
nm
= c
Z
2π
0
dα
Z
R
0
dρ · ρV (ρ, α)J
m
(k
mn
ρ) sin mα; (65)
B
nm
= c
Z
2π
0
dα
Z
R
0
dρ · ρV (ρ, α)J
m
(k
mn
ρ) cos mα,
где C = 2csch (k
mn
H)/πR
2
J
2
m+1
(k
mn
R). Формула (62) с учетом (65) является
решением поставленной задачи.
Комментарий: следует иметь в виду, что (62) определяется при
условии, что потенциал ϕ = 0 при z = 0 для всех ρ и при r = R для всех
z. Форма ряда (62) будет иной для других граничных условий.
Ряд Фурье-Бесселя (62) может быть использован при рассмотрении
конечных интервалов изменения радиальной переменной цилиндрической
системы координат, например, для области внутри цилиндра данного
радиуса. Если же рассматривается неограниченное пространство и ρ может
быть ∞, то ряд переходит в интеграл аналогично переходу ряда Фурье в
интеграл Фурье. Например, если интеграл в области, свободной от зарядов,
конечен и стремится к нулю при z → ∞, то общее решение имеет вид:
ϕ(ρ, α, z) =
∞
X
m=0
Z
∞
0
dke
−k(z)
J
m
(kρ)[A
m
(k) sin mα + B
m
(k) cos mα]. (66)
Пример 1.5.3. Диск радиуса R заряжен до величины q с
поверхностной плотностью σ. Заряд распределен по диску так, что
его поверхность имеет постоянный потенциал. Найти потенциал в
любой точке пространства и распределение заряда на диске [5].
Из условий задачи следует, что потенциал симметричен относительно оси
диска и плоскости, в которой расположен диск. Выберем цилиндрическую
систему координат с осью z и с началом координат в центре диска. В
соответствии с формулой (66) потенциал можно представить следующим
образом:
ϕ(ρ, z) =
Z
∞
0
f(k)e
−k|z|
J
0
(kρ)dk, (67)
где J
0
— функция Бесселя, а f(k) должна быть определена из граничных
условий при z = 0. По условию задачи ϕ(ρ, 0) = V для ρ ≤ R. Значение
потенциала ϕ(ρ, 0) для ρ > R неизвестно. Однако из симметрии задачи ясно,
что нормальная производная потенциала равна нулю (напряженность поля

Страницы