Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Таким образом, решение задачи определяется выражением (59).
Пример 1.5.2. Потенциал на боковой и нижней поверхностях
цилиндра равен нулю, а на верхней поверхности потенциал равен
V (ρ, α). Найти потенциал в произвольной точке внутри цилиндра.
Радиус цилиндра R, высота H, ρ и α — переменные цилиндрической
системы координат.
Запишем уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат:
∂
2
ϕ
∂ρ
2
+
1
ρ
∂ϕ
∂ρ
+
1
ρ
2
∂
2
ϕ
∂α
2
+
∂
2
ϕ
∂z
2
= 0. (61)
Решение уравнения (61) следует искать в виде ϕ = R(ρ)Q(α)Z(z). В
результате разделения переменных получим три уравнения:
Уравнение Решение
z
00
− k
2
z = 0 z = Ce
kz
+ De
−kz
Q
00
= ν
2
Q = 0 Q = Ae
iνα
+ B
−iνα
R
00
+
1
ρ
R
0
+
k
2
−
ν
2
ρ
2
R = 0 R = EJ
ν
(kρ) + F J
−ν
(kρ)
При решении данной задачи из условия однозначности потенциала и
его обращения в ноль при z = 0 следует выбрать такие комбинации:
Q(α)= A sin mα + B cos mα, Z(z) = sh kz, где m — произвольно целое
положительное число, k — постоянная, подлежащая определению. Чтобы
потенциал был конечным при ρ = 0, необходимо положить F = 0, а из
условия обращения потенциала в ноль при ρ = R следует, что k принимает
лишь значения: k
nm
= x
nm
/R, n = 1, 2, 3, ..., x
nm
— корни уравнения
J
m
(x) = 0. Следовательно, общее решение имеет вид
ϕ(ρ, α, z) =
∞
X
m=0
∞
X
m=1
J
m
(k
nm
ρ) sh(k
nm
z)[A
nm
sin mα + B
nm
cos mα]. (62)
При z = H данное решение должно принимать значение V (ρ, α), т.е.:
V (ρ, α) =
X
nm
sh(k
mn
H)J
m
(k
mn
ρ)[A
nm
sin mα + B
nm
cos mα]. (63)
Как видно, (63) есть ряд Фурье по переменной α и ряд Фурье-Бесселя [3]
по переменной ρ. Определения, связанные с рядом Фурье, представлены
формулами (60). Соответственно, для ряда Фурье-Бесселя:
f(ρ) =
∞
X
m=1
A
vn
J
v
(x
vn
ρ/a); A
νn
=
2
a
2
J
ν+1
2
(x
νn
)
Z
a
0
ρf(ρ)J
ν
x
νn
ρ
a
!
dρ.
(64)

Страницы