Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Поскольку при нечетных l полином P
l
нечетен относительно x, а при четных
l четен, отличной от нуля является сумма интегралов только для нечетных
значений l = 1, 3, 5, ....
V
lm
= 4π
v
u
u
t
2l + 1
4π
δ
m0
Z
1
0
P
l
(x)dx = V · 4π
v
u
u
t
2l + 1
4π
·
(−1)
l−1
2
Γ(
1
2
)δ
m0
2Γ(
1
2
)Γ
l+3
2
. (54)
Здесь Γ(x) - гамма-функция [4]. Окончательно
ϕ
1
=
X
l=1,3,5...
v
u
u
t
2l + 1
4π
V
l0
r
R
!
l
P
l
(cos θ) = (55)
=
3
2
r
R
P
1
(cos θ) −
7
8
r
R
!
3
P
3
(cos θ) +
11
16
r
R
!
5
P
5
(cos θ) + ...
· V.
ϕ
2
=
X
l=1,3,5...
v
u
u
t
2l + 1
4π
V
l0
R
r
!
l+1
P
l
) cos θ) = (56)
=
R
r
!
2
R
r
P
1
(cos θ) −
7
8
R
r
!
4
P
3
(cos θ) +
11
16
R
r
!
6
P
5
(cos θ) + ...
· V
В частном случае cos θ = 0 (на оси x)
Рис. 8:
найдем из (55):
ϕ(z) = V
1 −
z
2
− R
2
z
√
z
2
+ r
2
Задание на дом: решить задачи 2.7-2.9 на
стр. 32, 2.10- 2.12 на стр. 33
1.5 Уравнение Лапласа в декартовых и
цилиндрических координатах
Пример 1.5.1. Все грани прямоугольного параллелепипеда с
размерами a, b, c по осям x, y, z поддерживаются при потенциале,
равном 0, за исключением грани z = c, на которой задано значение
потенциала V (x, y). Найти потенциал внутри параллелепипеда.
Уравнение Лапласа в декартовых координатах:
∇
2
ϕ =
∂
2
ϕ
∂x
2
+
∂
2
ϕ
∂y
2
+
∂
2
ϕ
∂z
2
. (57)

Страницы