Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
На основании (41) получим:
ρ
lm
(r) =
Z
π
0
Z
2π
0
ρ
0
cos θ Y
lm
(θ, ϕ)dΩ = ρ
0
v
u
u
t
4π
3
δ
l1
δ
m0
.
Следовательно, поле вне ϕ
2
и внутри ϕ
1
следует искать в виде
ϕ
1
(r, θ, ϕ) = ϕ
(1)
10
(r)Y
10
(θ, ϕ); ϕ
2
(r, θ, ϕ) = ϕ
(2)
l0
(r)Y
l0
(θ, ϕ) (47)
Частное решение уравнения (43) есть: f
l0
= −πρ
0
q
4π
3
r
3
. На основании (45)
получим:
ϕ
(1)
10
= −
1
3R
2
"
1
R
f(R) + f
0
(R)
#
r +
1
r
f(r) = πρ
0
r
4
3
R − r
!
v
u
u
t
4π
3
ϕ
(2)
10
=
1
3
R
2
"
2
R
f(R) − f
0
(R)
#
1
r
2
= πρ
0
R
4
1
3r
2
v
u
u
t
4π
3
;
Подставляя найденные выражения в (47), находим для скалярного
потенциала:
ϕ
1
= πρ
0
r
4
3
R − r
!
cos θ; ϕ
2
= πρ
0
R
4
1
3r
2
cos θ. (48)
Для определения напряженности поля имеем выражения:
~
E
1
= −grad ϕ
1
= −
"
~
a
2
∂ϕ
1
∂r
+
~
a
θ
1
r
∂ϕ
1
∂θ
+
~
a
ϕ
1
r
∂ϕ
1
∂ϕ
#
= (49)
=
~
a
2
2πρ
0
r −
2
3
R
!
cos θ +
~
a
0
πρ
0
4
3
R − r
!
sin θ.
~
E
2
= −grad ϕ
2
=
~
a
r
2πρ
0
R
4
3r
3
cosθ +
~
a
0
πρ
0
R
4
3r
3
sin θ.
Пример 1.4.4 Потенциал на поверхности шара радиуса R
поддерживается равным V (θ, ϕ) в сферических координатах.
Определить поле в произвольной точке пространства.
Исходя из общего решения уравнения Лапласа ∇
2
ϕ = 0, для точки вне и
внутри шара имеем:
ϕ
1
(r, θ, ϕ) =
X
l,m
A
lm
r
l
Y
lm
(θ, ϕ), r < R; (50)
ϕ
2
(r, θ, ϕ) =
X
l,m
B
lm
r
(−l−1)
Y
lm
(θ, ϕ), r > R.

Страницы