Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Первое решение соответствует полю точечного заряда −q в точке
~
a и,
следовательно, не удовлетворяет физической постановке задачи. Второе
решение соответствует полю заряда −q в точке −
~
a. Для того, чтобы
показать это, воспользуемся свойством сферических функций: Y
l0
π
2
, ϕ
=
0 для l нечетных. Таким образом, для точек плоскости xy с r < a:
ϕ
0
=
X
l
(−4πq)
2l + 1
·
r
l
<
a
l+1
Y
∗
l0
(π, 0); Y
l0
π
2
, ϕ
!
= −
q
|
~
r +
~
a|
.
Аналогичное выражение вытекает для R > a. Окончательно
ϕ(
~
r ) =
1
|
~
r −
~
a|
−
1
|
~
r +
~
a|
(38)
Пример 1.4.2. Шар радиуса R заряжен с объемной плотностью
ρ(
~
r) в сферической системе координат, связанной с центром шара.
Найти потенциал в любой точке пространства.
Потенциалы внутри ϕ
1
и снаружи ϕ
2
шара удовлетворяют уравнениям:
∇
2
ϕ
1
= −4πρ(r, θ, ϕ), (39)
∇
2
ϕ
2
= 0. (40)
Представим ρ(r, θ, ϕ) в виде:
ρ(r, θ , ϕ ) =
∞
X
l=0
+l
X
m=−l
ρ
lm
(r)Y
lm
(θ, ϕ), (41)
где
ρ
lm
(r) =
Z
π
0
Z
2π
0
ρ(r, θ , ϕ )Y
∗
lm
(θ, ϕ) sin θ dθ dϕ.
Аналогично представим потенциалы ϕ
1
и ϕ
2
:
ϕ
1
=
∞
X
l=0
+l
X
m=−l
ϕ
(1)
lm
(r)Y
lm
(θ, ϕ); ϕ
2
=
∞
X
l=0
+l
X
m=−l
ϕ
(2)
lm
(r)Y
lm
(θ, ϕ); (42)
Подставив (42) и (41) в уравнения (39) и (40), получим:
d
2
dr
2
rϕ
(1)
lm
−
l(l + 1)
r
2
rϕ
(1)
lm
= −4πrρ
lm
(r); (43)
d
2
dr
2
rϕ
(2)
lm
−
l(l + 1)
r
2
rϕ
(2)
lm
= 0 (44)
Решение уравнения (43) следует искать в виде суммы двух решений: f -
частного решения неоднородного уравнения, которое может быть выписано

Страницы