Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Пример 1.3.5. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной
плотностью ρ. Его внешняя неограниченная экваториальная
плоскость заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти
скалярный потенциал в любой точке пространства. Из общей
формулы получить частный случай поля на оси симметрии системы
(см. задачу 26 в [1]).
По принципу суперпозиции ϕ можно представить в виде суммы двух
членов: ϕ = ϕ + ϕ. ϕ найден в примере 1.2.2, (формула (21)), в
которой нужно рассмотреть частный случай ρ = const). Для сравнения
приведем другое решение этой же задачи, основанное на мультипольных
разложениях. В соответствии с (6) находим:
ϕ =
X
lm
4π
2l + 1
Y
lm
(θ, ϕ)
Z
r
l
<
r
l+1
>
Y
∗
lm
(θ
0
, ϕ
0
)dV
0
= (31)
=
X
lm
4π
2l + 1
Y
lm
(θ, ϕ)
√
4π
Z
r
l
<
r
l+1
>
ρr
0
2
dr
0
Z
Y
00
Y
∗
lm
dΩ = 4π
Z
ρ(r
0
)
r
>
r
0
2
dr
0
.
В последнем выражении надо рассмотреть два случая: r > R и r < R. Пусть
r < R, из (31) получим:
ϕ
(1)
= 4πρ
Z
r
0
r
0
2
dr
0
r
+
Z
R
r
r
0
dr
0
= 2πρ
R
2
−
r
2
3
, r < R
Если r > R, из (31) получим:
ϕ
(2)
= 4πρ
1
r
Z
R
0
r
0
2
dr
0
=
4π
3
R
3
ρ
1
r
=
Q
r
, r > R
В результате
ϕ =
2πρ
R
2
− r
2
/3
, r < R
Q/r, r > R
(32)
Для определения потенциала плоскости воспользуемся решением
задачи, разобранной в примере 1.3.2 . В данном случае необходимо
положить R
2
= ∞. В результате
ϕ = 2πσ
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n!)
2
2n
(n!)
2
P
2n
(cos θ)
1
2n + 1
r
2n+1
R
2n+1
; r < R (33)
ϕ = 2πσ
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n!)
2
2n
(n!)
2
P
2n
(cos θ)
r
2n+2
− R
2n+1
(2n + 2)R
2n+1
+
1
r(2n + 1)
; r > R

Страницы