Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
лежит в плоскости x, y). В результате граничные условия имеют вид:
ϕ(ρ, 0) = V ρ ≤ R;
∂ϕ
∂z
(ρ, 0) = 0 R ≤ ρ < ∞ (68)
Так как потенциал диска на больших расстояниях должен совпадать с
потенциалом точечного заряда q, находим:
ϕ(ρ, z) →
q
√
ρ
2
+ z
2
= q
Z
∞
0
e
−k|z|
J
0
(kρ)dk. (69)
В данной формуле использовано известное интегральное равенство [4]. Из
сравнения (69) и (67) имеем f(0) = q.
Используя граничные условия (68) на основании (67), получим систему
интегральных уравнений
Z
∞
0
dk f(k)J
0
(kρ) = V, 0 ≤ ρ ≤ R;
Z
∞
0
dk kf(k)J
0
(kρ) = 0, ρ > R
(70)
Система интегральных уравнений, определенных в разных областях
переменной, называется системой парных интегральных уравнений.
Известно аналитическое решение следующей системы парных уравнений
[5]:
Z
∞
0
g(y)J
n
(yx)dy = x
n
, 0 ≤ x < 1;
Z
∞
0
yg(y)J
n
(yx)dy = 0, 1 < x < 1
(71)
Решение системы (71) имеет вид [5]:
g(y) =
Γ(n + 1)
Γ(n + 1/2)
v
u
u
t
2
y
J
n+1/2
(y). (72)
Система уравнений (70) сводится к системе (71) заменой переменных x =
ρ/R, y = kR, n = 0. Таким образом,
g(y) =
f
RV
=
2
π
sin(kR)
kR
. (73)
Учитывая, что f(0) = q, из (73) получим q = 2RV/pi. В результате
потенциал в произвольной точке пространства определяется выражением:
ϕ(ρ, z) =
Z
∞
0
sin(kR)
kR
e
−|z|k
J
0
(kρ)dk. (74)
Частные случаи данного выражения следующие:
а) потенциал на оси диска ρ = 0:
ϕ(0, z) = q
Z
∞
0
sin(kR)
kR
e
−|z|k
J
0
(0)dk =
q
R
arctg
R
z
;

Страницы