Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
Условие заземленности сферы означает равенство нулю ее потенциала.
Допустим, что можно ввести один фиктивный заряд q
x
для удовлетворения
условия ϕ(R, θ, ϕ) = 0. Из симметрии системы ясно, что он может быть
расположен на оси 0z. Однако величина и местоположение данного заряда
на оси 0z заранее не известны. Обозначим радиус-вектор заряда q
x
через
l
x
~
k,
~
k — единичный вектор по оси z. Тогда поле в произвольной точке
пространства определяется выражением (см. рис 10):
ϕ(
~
r ) =
q
r
1
+
q
x
r
2
.
По определению:
~
r
1
=
~
r −
~
kl и
~
r
2
=
~
r −
~
kl
x
или
~
r
1
=
q
r
2
− 2l
~
k
~
r + l
2
, r
2
=
r
r
2
− 2
~
k
~
rl
x
+ l
2
x
. На поверхности сферы должно выполняться:
ϕ(R, θ, ϕ) =
q
√
R
2
− 2Rl cos θ + l
2
+
q
x
q
R
2
− 2Rl
x
cos θ + l
2
x
= 0. (76)
Приводя последнее выражение к общему знаменателю, получим:
q
2
x
(R
2
− 2Rl cos θ + l
2
) = q
2
(R
2
− 2Rl
x
cos θ + l
2
x
).
Так как (76) имеет место при любых значениях угла θ, имеем:
q
2
x
(R
2
+ l
2
) = q
2
(R
2
+ l
2
x
); 2q
2
x
Rl = 2q
2
Rl
x
. (77)
Решая данную систему относительно q
X
и l
x
, получаем:
q
x
= −q
R
l
; l
x
=
R
2
l
. (78)
В результате поле в произвольной точке пространства есть:
ϕ
ql
(r, θ, ϕ) =
q
√
r
2
− 2rl cos θ + l
2
−
q
x
q
r
2
− 2rl
x
cos θ + l
2
x
. (79)
Для определения плотности индуцированного заряда воспользуемся
граничным условием:
E
2n
= −
∂ϕ
∂r
!
|
r=R
= 4πσ. (80)
Подставляя (79) в (80), получим:
σ = −
1
4π
∂ϕ
ql
∂r
|
r=R
= −
1
4πR
q(l
2
− R
2
)
(R
2
− 2Rl cos θ + l)
3/2
. (81)

Страницы