Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
V R/R = V . Таким образом,
ϕ(r, θ, ϕ) = ϕ
ql
(r) +
V R
r
.
Пример 1.6.4. Проводящая сфера радиуса R помещена в
однородное электрическое поле напряженностью
~
E
0
. Найти поле в
любой точке пространства [5].
Под действием внешнего поля заряды
Рис. 11:
проводника перераспределяются по
поверхности. Очевидно, что на поверхности
проводника поле имеет только нормальную
составляющую, т.е. наличие проводника
делает поле неоднородным. Для определения
поля воспользуемся искусственным приемом
описания
~
E
0
с помощью двух точечных зарядов (см. рис. 11) [5]. Можно
считать, что однородное поле создано зарядами ±Q, расположенными в
бесконечно удаленных точках. Действительно, если R конечно, но велико,
имеем:
E ' 2
Q
z
2
cos α '
2Q
z
2
.
В пределе z → ∞, Q → ∞ при условии Q/z
2
= const данное приближение
становится точным.
Поместим проводящую сферу в начало координат. Поле будет
определяться по принципу суперпозиции полями реальных зарядов ±Q,
находящихся на расстоянии ±z, и полем зарядов изображений, равных
±Q R/z и расположенных в точках z
∗
= ±R
2
/z (см. пример 1.6.2 ). Полный
потенциал равен: ϕ = ϕ
Q,−|z|
+ ϕ
−Q,|z|
, где ϕ
q,l
определено выражением (79).
При условии |z| → ∞, разлагая ϕ в ряд, найдем:
ϕ =
Q
|z|
1 −
r
|z|
cos θ
−
Q
|z|
1 +
r
|z|
cos θ
+ Q
R
|z|
1 +
R
2
r|z|
cos θ
−
−Q
R
|z|
1
r
1 +
R
2
z
2
cos θ
=
2Q
z
2
(r − R
3
/r
2
) cos θ.
Вычисляя предел данного выражения, получим:
lim
Q→∞,z→∞
−
2θ
z
2
!
r −
R
3
r
2
cos θ
= −E
0
r cos θ(1 −
R
3
r
3
).

Страницы