Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Для вычисления компонент тензора квадрупольного момента
воспользуемся формулой (86). При α = β = 1 получим:
Q
11
= Q
xx
=
Z
∞
0
Z
π
0
Z
2π
0
ρ(r)[3x
2
− r
2
]r
2
dr sin θ dθ dϕ = (87)
= ρ
0
Z
∞
0
r
8
e
−λr
dr
Z
π
0
Z
2π
0
sin
4
θ(3 sin
2
θ cos
2
ϕ −1) sin θ dθ dϕ.
Для интегрирования по углу ϕ воспользуемся выражением:
Z
2π
0
cos
2
ϕ dϕ =
1
2
Z
2π
0
(1 + cos 2ϕ) = π.
В результате для (87) после интегрирования по ϕ и замены переменных
интегрирования u = λr, x = cos θ находим:
Q
xx
=
ρ
λ
9
Z
∞
0
u
8
e
−u
du
Z
+1
−1
(1 − x
2
)
2
[3π(1 − x
2
) − 2π]dx =
ρ
0
λ
9
8! 2π
32
15 · 7
.
Аналогичные вычисления для Q
yy
дают: Q
yy
= Q
xx
, а для Q
zz
= −2Q
xx
при
α 6= β Q
αβ
равен нулю.
Пример 1.7.2. Полусфера радиуса R заряжена с постоянной
объемной плотностью ρ. Определить компоненты дипольного и
тензора квадрупольного моментов.
Выбирая систему координат в центре полусферы, получим d
x
= d
y
= 0.
Соответственно для d
z
:
d
z
=
Z
ρzr
2
dr sin θ dθ dϕ = ρ
Z
R
0
r
3
dr
Z
2π
0
dϕ
Z
π/2
0
cos θ sin θ dθ =
3
8
QR,
где Q — полный заряд полусферы: Q = ρ
2
3
πR
3
, Q
xx
— компонента тензора
квадрупольного момента:
Q
xx
=
Z
R
0
Z
π/2
0
Z
2π
0
ρ(3x
2
− r
2
)r
2
dr sin θ dθ dϕ =
= ρ
Z
R
0
r
4
dr
Z
π/2
0
Z
2π
0
(3 sin
2
θ cos
2
ϕ − 1) sin θ dθ dϕ = 0.
Аналогично находим, что равны нулю и другие компоненты тензора Q
αβ
.
Пример 1.7.3 Цилиндр высоты H и радиуса R заряжен с объемной
плотностью ρ = ρ
0
= const. Определить Q
xx
элемент тензора
квадрупольного момента такой системы зарядов.
По определению для Q
xx
в системе координат, связанной с осью
цилиндра, находим:
Q
xx
= ρ
0
Z
R
0
Z
H
0
Z
2π
0
[3ρ
2
cos
2
α−(ρ
2
+z
2
)]ρ dρ dz dα =
ρ
0
πHR
4
4
1 −
4
3
H
R
!
2
.

Страницы