Электродинамика (электростатика). Запрягаев С.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
Пример 1.7.4. Определить поле системы точечных зарядов
(см. рис.12) на больших расстояниях.
Для нахождения поля необходимо определить,
Рис. 12:
какой величиной характеризуется данное
распределение зарядов. В данном случае полный
заряд системы равен нулю. Дипольный момент
также равен нулю:
~
d = q(−
~
ia) −q(
~
ja) + q(
~
ia) − q(
~
ja) = 0.
Определим компоненты квадрупольного момента,
для примера:
Q
11
= Q
xx
=
4
X
i=1
q
u
3x
i
2
− r
i
2
= q2a
2
+ qa
2
+ q2a
2
+ qa
2
= 6a
2
q.
Аналогично вычисляются другие компоненты. В результате Q
22
= −Q
11
,
а остальные компоненты равны нулю. Таким образом, на больших
расстояниях поле имеет вид:
ϕ =
1
2r
5
(x
2
Q
xx
+ y
2
Q
yy
) = −
3a
2
q
r
3
sin
2
θ(1 − 2 cos
2
ϕ),
где r, θ, ϕ — переменные сферической системы координат.
Пример 1.7.5. Начало декартовой системы координат совпадает
с центром тонкого кольца радиуса R. Найти поле на больших
расстояниях от кольца с точностью до квадрупольных слагаемых,
если кольцо заряжено с линейной плотностью τ.
Полный заряд кольца равен: q = 2πτ R. Дипольный момент
~
d =
Z
~
rρdV =
Z
2π
0
(
~
ix +
~
jy)τR dα = 0.
Компоненты тензора квадрупольного момента:
Q
xx
=
Z
[3x
2
− R
2
]τR dα =
Z
[3R
2
cos α − R
2
]τR dα = τR
3
π.
Аналогично Q
yy
= τR
3
π, Q
zz
= −τR
3
2π и Q
αβ
= 0 при α 6= β. В результате
для скалярного потенциала находим:
ϕ(
~
r ) =
Q
r
+
1
2r
5
3
X
αβ=1
Q
αβ
x
α
x
β
'
Q
r
+
1
2r
5
[x
2
Q
xx
+ y
2
Q
yy
] =

Страницы