Оценка эксплуатационных характеристик и точности навигационных параметров технических средств судовождения. Завьялов В.В - 18 стр.

UptoLike

18
Поэтому формулу (2.3) предложено представлять в виде следующего
ряда [3]:
,...sin
7
sin
5
sin
3
sin
)
2
45lgtg(10ln
7
8
5
6
3
4
2
++++
+=
ϕϕϕϕ
ϕ
eee
ea
aD
o
(2.4)
где a = 3437,74677078, ln10 = 2,3025850929, а их произведение будет
равно 7915,70446789.
Так как коэффициент
7
8
ae
последнего члена ряда (2.4) не пре-
восходит по своей величине 0,000000985 , то его вклад с учётом сте-
пени синуса всегда будет незначительным. Поэтому вполне можно ог-
раничиться первыми тремя членами ряда. Отсюда выражение в квад-
ратных скобках, пригодное для высокоточных вычислений, будет
иметь следующий вид:
.sin
5
sin
3
sin
5
6
3
4
2
ϕϕϕ
aeae
ae ++ (2.5)
Использование выражения (2.5) всё же сопряжено с одним не-
удобством, которое заключается в необходимости обеспечивать
большую разрядность вычислений степеней синусов. Поэтому есть
смысл преобразования выражения (2.5) путём замены синусов со сте-
пенями 3 и 5 на синусы кратных углов по формулам биноминальных
коэффициентов [4].
.5sin
16
1
3sin
16
5
sin
8
5
sin,3sin
4
1
sin
4
3
sin
53
ϕϕϕϕϕϕϕ
+==
После подстановки их в выражение (2.5) получим
.5sin
80
3sin)
1612
(sin)
84
(
66464
2
ϕϕϕ
aeee
a
ee
ea ++++
Введём следующие обозначения:
.
80
;)
1612
(;)
84
(
6
5
64
3
64
2
1
ae
k
ee
ak
ee
eak =+=++=
Тогда формула (2.4) примет такой вид:
.5sin3sinsin)
2
45(lg70446,7915
531
ϕϕϕ
ϕ
kkktgD ++=
o
(2.6)
Поэтому формулу (2.3) предложено представлять в виде следующего
ряда [3]:
                               ϕ
 D = a ln10 lgtg(45o +             )−
                               2
         ⎡ 2                                       ⎤           (2.4)
                   e4 3     e6 5      e8 7
     − a ⎢e sin ϕ + sin ϕ + sin ϕ + sin ϕ + ... ⎥,
         ⎣⎢         3        5         7           ⎦⎥
где a = 3437,74677078, ln10 = 2,3025850929, а их произведение будет
равно 7915,70446789.
                            ae8
     Так как коэффициент        последнего члена ряда (2.4) не пре-
                             7
восходит по своей величине 0,000000985 , то его вклад с учётом сте-
пени синуса всегда будет незначительным. Поэтому вполне можно ог-
раничиться первыми тремя членами ряда. Отсюда выражение в квад-
ратных скобках, пригодное для высокоточных вычислений, будет
иметь следующий вид:
                           2ae 4 3      ae 6 5
                 ae sin ϕ +     sin ϕ +     sin ϕ .         (2.5)
                             3           5
    Использование выражения (2.5) всё же сопряжено с одним не-
удобством, которое заключается в необходимости обеспечивать
большую разрядность вычислений степеней синусов. Поэтому есть
смысл преобразования выражения (2.5) путём замены синусов со сте-
пенями 3 и 5 на синусы кратных углов по формулам биноминальных
коэффициентов [4].
                3       1                  5        5        1
       sin 3 ϕ = sin ϕ − sin 3ϕ , sin 5 ϕ = sin ϕ − sin 3ϕ + sin 5ϕ .
                4       4                  8       16       16
        После подстановки их в выражение (2.5) получим

                2   e 4 e6            e 4 e6        ae 6
             a (e +    + ) sin ϕ − a ( + ) sin 3ϕ +      sin 5ϕ .
                     4   8            12 16         80
        Введём следующие обозначения:
                         e 4 e6                          e4 e6           ae 6
         k1 = a (e 2 +      + );            k3 = − a (     + );   k5 =        .
                          4   8                          12 16           80
        Тогда формула (2.4) примет такой вид:
                                        ϕ
     D = 7915,70446 lg tg (45o + ) − k1 sin ϕ + k3 sin 3ϕ − k5 sin 5ϕ .       (2.6)
                                2



18