Составители:
Рубрика:
13.3.3. Случай различных действительных корней
характеристического уравнения системы
Корни характеристического уравнения равны
k
1
= k
2
= k.
Пример 18
Найти общее решение системы:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
dt
= y − x,
dy
dt
= −x − 3y.
Решение
Характеристическое уравнение
−1 − k 1
−1 −3 − k
=0,
k
2
+4k +4=0имеет равные корни k
1
= k
2
= −2. Подставив
k = −2 в систему (44), получим A = −B.ПоложимA =1.
Получим x
1
= e
−2t
, y
1
= e
−2t
. Известно, что второе частное
решение, линейно независимое с x, имеет вид x
2
= e
−2t
t.То-
гда y
2
находим в виде y
2
= Ae
−2t
t + Be
−2t
. Подставляя y
2
в
уравнение системы, получим
−2t +1=At + B − t, (−2 −A +1)t − B +1=0,
откуда A = −1, B =1.
y
2
= −e
−2t
t + e
−2t
.
Общее решение системы
x =(C
1
+ C
1
t)e
−2t
,
y =(−C
1
− C
2
t + C
2
)e
−2t
.
Система может быть решена исключением одной неиз-
вестной функции, например y. Получим уравнение второго
порядка
d
2
x
dt
2
+4
dx
dt
+4x =0.
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
