Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Выделим из этих выражений действительные и мнимые ча-
сти:
˜x
1
= e
αt
(a
1
cos βt − b
1
sin βt), ˜x
2
= e
tα
(a
1
sin βt + b
1
cos βt);
˜y
1
= e
αt
(a
2
cos βt − b
2
sin βt), ˜y
2
= e
tα
(a
2
sin βt + b
2
cos βt).
(47)
Общее решение:
x = C
1
˜x
1
+ C
2
˜x
2
,
y = C
1
˜y
1
+ C
2
˜y
2
.
Пример 17
Решить систему:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
dt
= x − 2y,
dy
dt
= x − y.
Найти частное решение, удовлетворяющее условиям
x(0) = y(0) = 1.
Решение
Характеристическое уравнение
1 − k −2
1 −1 − k
=0,
k
2
+1=0имеет корни k = ±i. Из системы (44) определяем:
A =2,B=1−i; a
1
=2,b
1
=0; a
2
=1,b
2
= −1.
Подставляем в (46), получаем:
˜x
1
=2cost, ˜x
2
=2sint,
˜y
1
=cost +sint, ˜y
2
=sint − cos t.
Общее решение (47):
x =2C
1
cos t +2C
2
sin t,
y = C
1
(cos t +sint)+C
2
(sin t − cos t).
При t =0, 1=2C
1
, C
1
=0, 5; 1=C
1
−C
2
, C
2
= −0.5:
x =cost − sin t,
y =cost.
43

Страницы