Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Эту же систему решим методом сведения к уравнению вто-
рого порядка:
d
2
x
dt
2
=2
dx
dt
+2
dy
dt
;
d
2
x
dt
2
=2(2x +2y)+2(x +3y);
d
2
x
dt
2
=6x +10y; y =
1
2
dx
dt
− 2x
;
d
2
x
dt
2
=6x +5
dx
dt
− 10x;
d
2
x
dt
2
− 5
dx
dt
+4x =0.
k
1
=1, k
2
=4.Тогдаx = C
1
e
t
+ C
2
e
4t
,а
y =
1
2
C
1
e
t
+4C
2
e
4t
− 2C
1
e
t
− 2C
2
e
4t
= −
1
2
C
1
e
t
+ C
2
e
4t
.
Окончательно,
x = C
1
e
t
+ C
2
e
4t
,
y = −
1
2
C
1
e
t
+ C
2
e
4t
.
13.3.2. Случай равных действительных корней
характеристического уравнения системы
Корни характеристического уравнения комплексны:
k
1, 2
= α ± βi. Действительная и мнимая части решений
x = Ae
(α+βi)t
,
y = Be
(α+βi)t
также являются решениями систем (A и B – комплексные).
В этом случае
x
1
=(a
1
+ ib
1
)e
(α+iβ)t
,x
2
=(a
1
− ib
1
)e
(α−iβ)t
;
y
1
=(a
2
+ ib
2
)e
(α+iβ)t
,y
2
=(a
2
− ib
2
)e
(α−iβ)t
.
(46)
42

Страницы